Метод стрельбы - Shooting method

В численном анализе , то метод съемки является метод решения краевой задачи за счет уменьшения ее до начальной задачи . Он включает поиск решений начальной задачи для различных начальных условий до тех пор, пока не будет найдено решение, которое также удовлетворяет граничным условиям краевой задачи. С точки зрения непрофессионала, каждый "стреляет" траекториями в разных направлениях от одной границы, пока не будет найдена траектория, которая "попадает" в другое граничное условие.

Математическое описание

Предположим, кто-то хочет решить краевую задачу

{\ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y (t_ {1}) = y_ {1}.}

Пусть решает начальную задачу

{\ Displaystyle у (т; а)}

{\ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y' (t_ {0} ) = а.}

Если , то также является решением краевой задачи.

{\ Displaystyle у (т_ {1}; а) = у_ {1}}

{\ Displaystyle у (т; а)}

Метод стрельбы - это процесс решения задачи начального значения для множества различных значений до тех пор, пока не будет найдено решение , удовлетворяющее желаемым граничным условиям. Обычно это делается численно . Решение (я) соответствует корню (корням) из ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle у (т; а)}$

{\ displaystyle F (a) = y (t_ {1}; a) -y_ {1}.}

Чтобы систематически изменять параметр съемки и находить корень, можно использовать стандартные алгоритмы поиска корня, такие как метод деления пополам или метод Ньютона .

{\ displaystyle a}

Корни и решения краевой задачи эквивалентны. Если - корень , то является решением краевой задачи. С другой стороны , если краевая задача имеет решение , оно также является единственным решением проблемы начального значения , где , так это корень . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle у (т; а)}$ ${\ Displaystyle у (т)}$ ${\ Displaystyle у (т; а)}$ ${\ Displaystyle а = у '(т_ {0})}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle F}$

Этимология и интуиция

Термин «способ стрельбы» берет свое начало в артиллерии. Аналогия метода стрельбы:

поставить пушку на позицию , затем ${\ Displaystyle у (т_ {0}) = у_ {0}}$
измените направление пушки, затем ${\ Displaystyle у '(т_ {0}) = а}$
стреляйте из пушки, пока она не достигнет граничного значения . ${\ Displaystyle у (т_ {1}) = у_ {1}}$

Между каждым выстрелом направление пушки корректируется в зависимости от предыдущего выстрела, поэтому каждый выстрел попадает ближе, чем предыдущий. Траектория, которая «попадает» в желаемое граничное значение, является решением краевой задачи - отсюда и название «метод стрельбы».

Линейный метод стрельбы

Краевая задача линейна, если f имеет вид

{\ Displaystyle е (т, у (т), у '(т)) = п (т) у' (т) + д (т) у (т) + г (т). \,}

В этом случае решение краевой задачи обычно дается следующим образом:

{\ displaystyle y (t) = y _ {(1)} (t) + {\ frac {y_ {1} -y _ {(1)} (t_ {1})} {y _ {(2)} (t_ { 1})}} y _ {(2)} (t)}

где - решение задачи начального значения: ${\ Displaystyle у _ {(1)} (т)}$

{\ Displaystyle у _ {(1)} '' (т) = п (т) у _ {(1)} '(т) + д (т) у _ {(1)} (т) + г (т), \ quad y _ {(1)} (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y _ {(1)} '(t_ {0}) = 0,}

и является решением задачи начального значения: ${\ Displaystyle у _ {(2)} (т)}$

{\ displaystyle y _ {(2)} '' (t) = p (t) y _ {(2)} '(t) + q (t) y _ {(2)} (t), \ quad y _ {(2 )} (t_ {0}) = 0, \ quad y _ {(2)} '(t_ {0}) = 1.}

Точное условие, при котором выполняется этот результат, см. В доказательстве .

Примеры

Стандартная краевая задача

Рис. 1. Траектории w ( t ; s ) для s = w '(0), равного −7, −8, −10, −36 и −40. Точка (1,1) отмечена кружком.

Рисунок 2. Функция F ( s ) = w (1; s ) - 1.

Краевая задача дается следующим путем Stoer и Bulirsch (раздел 7.3.1).

{\ displaystyle w '' (t) = {\ frac {3} {2}} w ^ {2}, \ quad w (0) = 4, \ quad w (1) = 1}

Проблема начального значения

{\ displaystyle w '' (t) = {\ frac {3} {2}} w ^ {2}, \ quad w (0) = 4, \ quad w '(0) = s}

был решен для s = −1, −2, −3, ..., −100 и F ( s ) = w (1; s ) - 1, представленных на рисунке 2. Просматривая график F , мы видим, что есть корни около −8 и −36. Некоторые траектории w ( t ; s ) показаны на рисунке 1.

Стоер и Булирш утверждают, что есть два решения, которые могут быть найдены алгебраическими методами.

Они соответствуют начальным условиям w ′ (0) = −8 и w ′ (0) = −35,9 (приблизительно).

Проблема собственных значений

При поиске основного состояния гармонического осциллятора с энергией метод стрельбы создает волновые функции, расходящиеся до бесконечности. Здесь правильная волновая функция должна иметь нулевые корни и стремиться к нулю на бесконечности, поэтому она находится где-то между оранжевой и зеленой линиями. Таким образом, энергия находится между и (с числовой точностью).

{\ displaystyle E_ {0} = 1/2}

{\ displaystyle 0.495}

{\ displaystyle 0.500}

Метод стрельбы также можно использовать для решения задач на собственные значения. Рассмотрим не зависящее от времени уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ psi _ {n} '' (x) + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} \ psi _ {n} (x) = E_ {n} \ psi _ {n} (x).}

В квантовой механике ищут нормализуемые волновые функции и соответствующие им энергии с учетом граничных условий

{\ Displaystyle \ psi _ {п} (х)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x \ rightarrow + \ infty) = \ psi _ {n} (x \ rightarrow - \ infty) = 0.}

Задача может быть решена аналитически, чтобы найти энергии для , но также служит отличной иллюстрацией метода стрельбы. Чтобы применить его, сначала отметьте некоторые общие свойства уравнения Шредингера:

{\ displaystyle E_ {n} = n + 1/2}

{\ Displaystyle п = 0,1,2, \ точки}

Если - собственная функция, то же самое для любой ненулевой константы . ${\ Displaystyle \ psi _ {п} (х)}$ ${\ Displaystyle C \ psi _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle C}$
-Й возбужденное состояние имеет корни , где это . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} (х) = 0}$
В самом деле, -ое возбужденное состояние является симметричным и отличным от нуля в начале координат. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ psi _ {n} (- x)}$
В случае нечетного числа -е возбужденное состояние антисимметрично и, следовательно, равно нулю в начале координат. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = - \ psi _ {n} (- x)}$

Чтобы найти -ое возбужденное состояние и его энергию , метод съемки заключается в следующем: ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$

Угадай немного энергии . ${\ displaystyle E_ {n}}$
Интегрируйте уравнение Шредингера. Например, используйте центральную конечную разность

${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ psi _ {n} ^ {i + 1} -2 \ psi _ {n} ^ {i} + \ psi _ {n} ^ {i-1}} {{\ Delta x} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} (x ^ {i}) ^ {2} \ psi _ {n} ^ {i} = E_ {n} \ psi _ {n} ^ {i}.}$
${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ psi _ {n} ^ {i + 1} -2 \ psi _ {n} ^ {i} + \ psi _ {n} ^ {i-1}} {{\ Delta x} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} (x ^ {i}) ^ {2} \ psi _ {n} ^ {i} = E_ {n} \ psi _ {n} ^ {i}.}$
- Если четно, установите какое-то произвольное число (скажем, волновая функция может быть нормализована после интегрирования в любом случае) и используйте свойство симметрии, чтобы найти все оставшееся . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {0} = 1}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} ^ {я}}$
- Если нечетное, установите и на какое-то произвольное число (скажем - волновую функцию все равно можно нормализовать после интегрирования) и найдите все оставшееся . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {0} = 0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} ^ {1} = 1}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {п} ^ {я}}$
Подсчитайте корни и уточните предположение об энергии . ${\ displaystyle \ psi _ {n}}$ $\ psi_n$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$
- Если корней или меньше, предполагаемая энергия слишком мала, поэтому увеличьте ее и повторите процесс. ${\ displaystyle n}$
- Если корней больше , предполагаемая энергия слишком высока, поэтому уменьшите ее и повторите процесс. ${\ displaystyle n}$

Расчет энергии может быть выполнен методом деления пополам , и процесс может быть прекращен, когда разница в энергии достаточно мала. Тогда можно принять любую энергию в интервале как правильную энергию.

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Краткое описание ODEPACK (в Netlib ; содержит LSODE)
Съемочный метод решения краевых задач - Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica в Институте целостных численных методов [1]

Languages

In other projects