Metodo di ripresa multipla diretta - Direct multiple shooting method

Nell'area della matematica nota come equazioni differenziali ordinarie numeriche , il metodo di tiro multiplo diretto è un metodo numerico per la soluzione di problemi ai valori al contorno . Il metodo divide l'intervallo su cui si cerca una soluzione in diversi intervalli più piccoli, risolve un problema di valore iniziale in ciascuno degli intervalli più piccoli e impone condizioni di corrispondenza aggiuntive per formare una soluzione sull'intero intervallo. Il metodo costituisce un miglioramento significativo nella distribuzione della non linearità e della stabilità numerica rispetto ai metodi di ripresa singoli .

Metodi di scatto singolo

I metodi di ripresa possono essere utilizzati per risolvere problemi ai valori limite (BVP) come

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b}) =y_{b},}$

in cui i punti di tempo t _una e t _b sono noti e cerchiamo

${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$

I metodi di scatto singolo procedono come segue. Sia y ( t ; t ₀ , y ₀ ) la soluzione del problema ai valori iniziali (IVP)

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0} )=p}$

Definire la funzione F ( p ) come la differenza tra y ( t _b ; p ) e il valore limite specificato y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b . Allora per ogni soluzione ( y _a , y _b ) del problema ai limiti si ha y _a = y ₀ mentre y _b corrisponde a una radice di F . Questa radice può essere risolta con qualsiasi metodo di ricerca della radice dato che sono soddisfatti determinati prerequisiti dipendenti dal metodo. Questo spesso richiede ipotesi iniziali y _una e y _b . In genere, la ricerca della radice analitica è impossibile e per questo compito vengono utilizzati metodi iterativi come il metodo di Newton .

L'applicazione del singolo tiro per la soluzione numerica di problemi ai valori limite presenta diversi inconvenienti.

• Per un dato valore iniziale y ₀ la soluzione della IVP ovviamente deve esistere sull'intervallo [ t _a , t _b ] in modo da poter valutare la funzione F di cui si cerca la radice.

Per ODE altamente non lineari o instabili, ciò richiede che l'ipotesi iniziale y ₀ sia estremamente vicina a una soluzione effettiva ma sconosciuta y _a . I valori iniziali che vengono scelti leggermente fuori dalla vera soluzione possono portare a singolarità o alla rottura del metodo del risolutore ODE. Tuttavia, la scelta di tali soluzioni è inevitabile in un metodo iterativo di ricerca delle radici.

• I numeri di precisione finita possono rendere impossibile trovare valori iniziali che consentano la soluzione dell'ODE sull'intero intervallo di tempo.
• La non linearità dell'ODE diventa effettivamente una non linearità di F e richiede una tecnica di ricerca delle radici in grado di risolvere sistemi non lineari. Tali metodi in genere convergono più lentamente man mano che le non linearità diventano più gravi. Le prestazioni del risolutore di problemi con valori limite ne risentono.
• Anche le ODE stabili e ben condizionate possono creare BVP instabili e mal condizionate. Una leggera alterazione del valore iniziale guess y ₀ può generare un passo estremamente grande nella soluzione delle ODE y ( t _b ; t _a , y ₀ ) e quindi nei valori della funzione F di cui si cerca la radice. I metodi di ricerca delle radici non analitici raramente possono far fronte a questo comportamento.

Scatto multiplo

Un metodo di ripresa diretta multipla partiziona l'intervallo [ t _a , t _b ] introducendo punti griglia aggiuntivi grid

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}}$.

Il metodo inizia indovinando in qualche modo i valori di y in tutti i punti della griglia t _k con 0 ≤ k ≤ N − 1. Denota queste ipotesi con y _k . Sia y ( t ; t _k , y _k ) la soluzione proveniente dal k- esimo punto della griglia, cioè la soluzione del problema del valore iniziale

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$

Tutte queste soluzioni possono essere messe insieme per formare una traiettoria continua se i valori y corrispondono ai punti della griglia. Pertanto, le soluzioni del problema dei valori al contorno corrispondono alle soluzioni del seguente sistema di N equazioni:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y(t_{1};t_{0},y_{0})=y_{1}\\&\qquad \qquad \vdots \\&y(t_{N-1} ;t_{N-2},y_{N-2})=y_{N-1}\\&y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})=y_{b} .\end{allineato}}}$

Le N −2 equazioni centrali sono le condizioni di matching, e la prima e l'ultima equazione sono le condizioni y ( t _a ) = y _a e y ( t _b ) = y _b dal problema dei valori al contorno. Il metodo di ripresa multipla risolve il problema del valore limite risolvendo questo sistema di equazioni. In genere, per quest'ultimo compito viene utilizzata una modifica del metodo di Newton .

Scatti multipli e metodi paralleli nel tempo

Sono state adottate riprese multiple per derivare risolutori paralleli per problemi di valore iniziale . Ad esempio, il metodo di integrazione parallela nel tempo Parareal può essere derivato come un algoritmo di tiro multiplo con una speciale approssimazione dello Jacobiano .

Riferimenti

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduzione all'analisi numerica (3a ed.), Berlino, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. Vedere le sezioni 7.3.5 e successive.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), "Un algoritmo di tiro multiplo per la soluzione diretta di problemi di controllo ottimo", Atti del 9° Congresso Mondiale IFAC , Budapest
• Morrison, David D.; Riley, James D.; Zancanaro, John F. (Dicembre 1962), "Metodo di tiro multiplo per problemi al limite su due punti" (PDF) , Comune. ACM , 5 (12): 613–614, doi : 10.1145/355580.369128