Méthode de prise de vue multiple directe - Direct multiple shooting method

Dans le domaine des mathématiques connu sous le nom d' équations différentielles ordinaires numériques , la méthode de tir multiple direct est une méthode numérique pour la résolution de problèmes de valeurs limites . La méthode divise l'intervalle sur lequel une solution est recherchée en plusieurs intervalles plus petits, résout un problème de valeur initiale dans chacun des intervalles plus petits et impose des conditions d'appariement supplémentaires pour former une solution sur l'ensemble de l'intervalle. La méthode constitue une amélioration significative de la distribution de la non-linéarité et de la stabilité numérique par rapport aux méthodes de tir unique .

Méthodes de prise de vue uniques

Les méthodes de prise de vue peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes de valeurs limites (BVP) comme

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b}) =y_{b},}$

dans laquelle les instants t _a et t _b sont connus et on cherche

${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$

Les méthodes de prise de vue unique procèdent comme suit. Soit y ( t ; t ₀ , y ₀ ) la solution du problème de la valeur initiale (IVP)

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0} )=p}$

Définissez la fonction F ( p ) comme la différence entre y ( t _b ; p ) et la valeur limite spécifiée y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b . Alors pour chaque solution ( y _a , y _b ) du problème aux limites nous avons y _a = y ₀ tandis que y _b correspond à une racine de F . Cette racine peut être résolue par n'importe quelle méthode de recherche de racine étant donné que certaines conditions préalables dépendant de la méthode sont satisfaites. Cela nécessitera souvent des suppositions initiales sur y _a et y _b . En règle générale, la recherche de racine analytique est impossible et des méthodes itératives telles que la méthode de Newton sont utilisées pour cette tâche.

L'application du tir unique pour la résolution numérique de problèmes aux limites souffre de plusieurs inconvénients.

• Pour une valeur initiale donnée y ₀ la solution de l'IVP doit évidemment exister sur l'intervalle [ t _a , t _b ] pour que l'on puisse évaluer la fonction F dont on cherche la racine.

Pour les EDO hautement non linéaires ou instables, cela nécessite que l'estimation initiale y ₀ soit extrêmement proche d'une solution réelle mais inconnue y _a . Les valeurs initiales qui sont choisies légèrement en dehors de la vraie solution peuvent conduire à des singularités ou à un échec de la méthode du solveur ODE. Cependant, le choix de telles solutions est inévitable dans une méthode de recherche de racines itérative.

• Les nombres à précision finie peuvent rendre impossible la recherche de valeurs initiales permettant la résolution de l'ODE sur l'ensemble de l'intervalle de temps.
• La non-linéarité de l'ODE devient effectivement une non-linéarité de F , et nécessite une technique de recherche de racine capable de résoudre des systèmes non linéaires. De telles méthodes convergent généralement plus lentement à mesure que les non-linéarités deviennent plus sévères. Les performances du résolveur de problèmes aux valeurs limites en souffrent.
• Même les ODE stables et bien conditionnées peuvent donner lieu à des BVP instables et mal conditionnés. Une légère altération de la valeur initiale deviner y ₀ peut générer un très grand pas dans la solution des EDO y ( t _b ; t _a , y ₀ ) et donc dans les valeurs de la fonction F dont la racine est recherchée. Les méthodes de recherche de racines non analytiques peuvent rarement faire face à ce comportement.

Prise de vue multiple

Une méthode de prise de vue multiple directe divise l'intervalle [ t _a , t _b ] en introduisant des points de grille supplémentaires

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}}$.

La méthode commence par deviner d'une manière ou d'une autre les valeurs de y à tous les points de grille t _k avec 0 ≤ k ≤ N − 1. Notons ces suppositions par y _k . Soit y ( t ; t _k , y _k ) la solution émanant du k ème point de grille, c'est-à-dire la solution du problème de la valeur initiale

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$

Toutes ces solutions peuvent être reconstituées pour former une trajectoire continue si les valeurs y correspondent aux points de la grille. Ainsi, les solutions du problème aux limites correspondent aux solutions du système de N équations suivant :

${\displaystyle {\begin{aligned}&y(t_{1};t_{0},y_{0})=y_{1}\\&\qquad \qquad \vdots \\&y(t_{N-1} ;t_{N-2},y_{N-2})=y_{N-1}\\&y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})=y_{b} .\end{aligné}}}$

Les N -2 équations centrales sont les conditions d'appariement, et les première et dernière équations sont les conditions y ( t _a ) = y _a et y ( t _b ) = y _b du problème de la valeur limite. La méthode de tir multiple résout le problème de la valeur limite en résolvant ce système d'équations. Typiquement, une modification de la méthode de Newton est utilisée pour cette dernière tâche.

Méthodes de prise de vue multiples et en parallèle dans le temps

Le tir multiple a été adopté pour dériver des solveurs parallèles pour les problèmes de valeur initiale . Par exemple, la méthode d'intégration parallèle dans le temps Parareal peut être dérivée d'un algorithme de tir multiple avec une approximation spéciale du Jacobien .

Les références

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction à l'analyse numérique (3e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. Voir les sections 7.3.5 et suivantes.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), "Un algorithme de tir multiple pour une solution directe de problèmes de contrôle optimal", Actes du 9e Congrès mondial de l'IFAC , Budapest
• Morrison, David D.; Riley, James D. ; Zancanaro, John F. (décembre 1962), "Méthode de prise de vue multiple pour les problèmes de valeurs limites à deux points" (PDF) , Commun. ACM , 5 (12) : 613–614, doi : 10.1145/355580.369128