Metoda de fotografiere multiplă directă - Direct multiple shooting method

În zona matematicii cunoscută sub numele de ecuații diferențiale ordinare numerice , metoda de fotografiere directă multiplă este o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor valorii la graniță . Metoda împarte intervalul în care se caută o soluție în mai multe intervale mai mici, rezolvă o problemă de valoare inițială în fiecare dintre intervalele mai mici și impune condiții suplimentare de potrivire pentru a forma o soluție pe întregul interval. Metoda constituie o îmbunătățire semnificativă a distribuției neliniarității și a stabilității numerice față de metodele de fotografiere unice .

Metode de fotografiere unice

Metodele de fotografiere pot fi utilizate pentru a rezolva probleme de valoare la graniță (BVP), cum ar fi

${\ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {a}) = y_ {a}, \ quad y (t_ {b}) = y_ {b},}$

în care sunt cunoscute punctele de timp t _a și t _b și căutăm

${\ displaystyle y (t), \ quad t \ in (t_ {a}, t_ {b}).}$

Metodele de fotografiere individuale procedează după cum urmează. Fie y ( t ; t ₀ , y ₀ ) denotă soluția problemei valorii inițiale (IVP)

${\ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y' (t_ {0} ) = p}$

Definiți funcția F ( p ) ca diferența dintre y ( t _b ; p ) și valoarea limită specificată y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) - y _b . Apoi , pentru fiecare soluție ( y _a , y _b ) a problemei valorii limitei avem y _o = y ₀ în timp ce y _b corespunde unei rădăcină de F . Această rădăcină poate fi rezolvată prin orice metodă de găsire a rădăcinii, având în vedere că sunt îndeplinite anumite condiții prealabile dependente de metodă. Acest lucru va necesita adesea presupuneri inițiale pentru y _a și y _b . De obicei, găsirea rădăcinii analitice este imposibilă și metode iterative, cum ar fi metoda lui Newton, sunt utilizate pentru această sarcină.

Aplicarea fotografierii unice pentru soluția numerică a problemelor valorii la limită suferă de mai multe dezavantaje.

• Pentru o valoare inițială dată y ₀ , soluția IVP trebuie să existe în mod evident pe intervalul [ t _a , t _b ], astfel încât să putem evalua funcția F a cărei rădăcină este căutată.

Pentru ODE extrem de neliniare sau instabile, acest lucru necesită presupunerea inițială y ₀ să fie extrem de apropiată de o soluție reală, dar necunoscută y _a . Valorile inițiale care sunt ușor alese de soluția adevărată pot duce la singularități sau la defalcarea metodei soluției ODE. Cu toate acestea, alegerea unor astfel de soluții este inevitabilă într-o metodă iterativă de găsire a rădăcinilor.

• Numerica finită de precizie poate face imposibilă găsirea valorilor inițiale care să permită soluționarea ODE pe întregul interval de timp.
• Neliniaritatea ODE devine efectiv o neliniaritate a lui F și necesită o tehnică de găsire a rădăcinilor capabilă să rezolve sisteme neliniare. Astfel de metode converg de obicei mai lent pe măsură ce neliniaritățile devin mai severe. Performanța soluției de rezolvare a problemei valorii limită suferă de acest lucru.
• Chiar și ODE-urile stabile și bine condiționate pot face BVP instabile și prost condiționate. O ușoară modificare a valorii inițiale presupune y ₀ poate genera un pas extrem de mare în soluția ODEs y ( t _b ; t _a , y ₀ ) și astfel în valorile funcției F a cărei rădăcină este căutată. Metodele non-analitice de găsire a rădăcinilor rareori pot face față acestui comportament.

Fotografiere multiplă

O metodă directă de fotografiere multiplă împarte intervalul [ t _a , t _b ] prin introducerea punctelor de grilă suplimentare

${\ displaystyle t_ {a} = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {N} = t_ {b}}$.

Metoda începe prin a ghici cumva valorile lui y la toate punctele de rețea t _k cu 0 ≤ k ≤ N - 1. Denotați aceste presupuneri cu y _k . Fie y ( t ; t _k , y _k ) să denotăm soluția emanată din punctul k al grilei, adică soluția problemei valorii inițiale

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {k}) = y_ {k}.}$

Toate aceste soluții pot fi combinate pentru a forma o traiectorie continuă dacă valorile y se potrivesc la punctele grilei. Astfel, soluțiile problemei valorii la graniță corespund soluțiilor următorului sistem de N ecuații:

${\ displaystyle {\ begin {align} & y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} \\ & \ qquad \ qquad \ vdots \\ & y (t_ {N-1} ; t_ {N-2}, y_ {N-2}) = y_ {N-1} \\ & y (t_ {N}; t_ {N-1}, y_ {N-1}) = y_ {b} . \ end {align}}}$

Ecuațiile N −2 centrale sunt condițiile de potrivire, iar prima și ultima ecuații sunt condițiile y ( t _a ) = y _a și y ( t _b ) = y _b din problema valorii la graniță. Metoda de fotografiere multiplă rezolvă problema valorii limită rezolvând acest sistem de ecuații. De obicei, pentru această din urmă sarcină se folosește o modificare a metodei Newton .

Fotografiere multiplă și metode paralele în timp

S-au adoptat fotografii multiple pentru a obține rezolvatori paraleli pentru problemele de valoare inițială . De exemplu, metoda de integrare paralelă în timp Parareal poate fi derivată ca un algoritm de fotografiere multiplă cu o aproximare specială a lui Jacobian .

Referințe

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducere în analiza numerică (ediția a 3-a), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3. A se vedea secțiunile 7.3.5 și în continuare.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), „Un algoritm de fotografiere multiplă pentru soluționarea directă a problemelor de control optim”, Proceedings of the 9-IFAC World Congress , Budapest
• Morrison, David D .; Riley, James D .; Zancanaro, John F. (decembrie 1962), „Metodă de fotografiere multiplă pentru probleme de valoare la două puncte la limită” (PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613–614, doi : 10.1145 / 355580.369128