Комплексификация - Complexification

В математике , то комплексификация из векторного пространства V над полем действительных чисел ( «реальное векторным пространство») дает векторное пространство V ^C над комплексным числом полем , полученного путем формального расширения масштабирования векторов действительных числами , чтобы включить их масштабирование («умножение») на комплексные числа. Любая основа для V (пробел над действительными числами) также может служить основой для V ^C над комплексными числами.

Формальное определение

Позвольте быть реальное векторное пространство. В${\ displaystyle V}$ комплексификация изVопределяется, принимаятензорное произведениеизс комплексными числами (рассматривать как 2-мерное векторное пространство над полем действительных чисел): ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} = V \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ ,.}$

Нижний индекс на тензорном произведении указывает, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку это реальное векторное пространство, это единственный разумный вариант в любом случае, поэтому нижний индекс можно безопасно опустить). В его нынешнем виде это только реальное векторное пространство. Однако мы можем преобразовать в комплексное векторное пространство, определив комплексное умножение следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ Displaystyle \ альфа (v \ otimes \ beta) = v \ otimes (\ alpha \ beta) \ qquad {\ mbox {для всех}} v \ in V {\ mbox {and}} \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}.}$

В более общем смысле комплексификация - это пример расширения скаляров - здесь скаляры расширяются от действительных чисел до комплексных чисел - что может быть сделано для любого расширения поля или даже для любого морфизма колец.

Формально комплексификация - это функтор Vect _R → Vect _C из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор - а именно левый сопряженный - к забывчивому функтору Vect _C → Vect _R, забывающий комплексную структуру.

Это забвение сложной структуры комплексного векторного пространства называется${\ displaystyle V}$декомплексирование (или иногда "реализация "). Декомплексирование комплексного векторного пространствас базисомустраняет возможность комплексного умножения скаляров, давая, таким образом, реальное векторное пространствовдвоебольшейразмерности с базисом${\ displaystyle V}$${\ displaystyle e _ {\ mu}}$${\ Displaystyle W _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ {e _ {\ mu}, т.е. _ {\ mu} \}.}$

Основные свойства

По характеру тензорного произведения каждый вектор v в V ^C однозначно записывается в виде

${\ displaystyle v = v_ {1} \ otimes 1 + v_ {2} \ otimes i}$

где V ₁ и V ₂ являются векторами в V . Обычной практикой является опустить символ произведения тензора и просто написать

${\ Displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. \,}$

Умножение на комплексное число a + ib затем дается обычным правилом

${\ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). \,}$

Тогда мы можем рассматривать V ^C как прямую сумму двух копий V :

${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} \ cong V \ oplus IV}$

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Существует естественное вложение V в V ^C :

${\ displaystyle v \ mapsto v \ otimes 1.}$

Векторное пространство V может затем рассматриваться как реальное подпространство в V ^C . Если V имеет базис { е _я } (над полем R ) , то соответствующее основание для V ^C задается { е _я ⊗ 1} над полем C . Комплексное измерение из V ^C , следовательно , равен реальному размеру V :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} V ^ {\ mathbb {C}} = \ dim _ {\ mathbb {R}} V.}$

В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму как определение комплексификации:

${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}: = V \ oplus V,}$

где задается линейная комплексная структура оператором J, определенным как где J кодирует операцию «умножения на i ». В матричной форме J определяется как: ${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} \\ I_ {V} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Это дает идентичное пространство - реальное векторное пространство с линейной сложной структурой - это данные, идентичные сложному векторному пространству, хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, можно записать или отождествить V с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным. ${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V \ oplus JV}$${\ displaystyle V \ oplus iV,}$

Примеры

• Комплексификацией реального координатного пространства R ⁿ является комплексное координатное пространство C ⁿ .
• Аналогично, если V состоит из матриц размера m × n с действительными элементами, V ^C будет состоять из матриц размера m × n с комплексными элементами.

Удвоение Диксона

Процесс комплексификации путем перехода от R к C был абстрагирован математиками двадцатого века, включая Леонарда Диксона . Один начинается с использованием тождественного отображения х * = х , как тривиальная инволюция на R . Следующие две копии R используются для формирования z = ( a, b ) с комплексным сопряжением, введенным как инволюция z * = ( a , - b ) . Два элемента w и z в удвоенном наборе умножаются на

${\ displaystyle wz = (a, b) \ times (c, d) = (ac \ - \ d ^ {*} b, \ da \ + \ bc ^ {*}).}$

Наконец, удвоенному множеству дается норма N ( z ) = z * z . Если начать с R с тождественной инволюцией, удвоенным множеством будет C с нормой a ² + b ² . Если удвоить C и использовать сопряжение ( a, b ) * = ( a *, - b ), конструкция даст кватернионы . При удвоении снова образуются октонионы , также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в раскрытие алгебраической структуры.

Процесс также можно запустить с помощью C и тривиальной инволюции z * = z . Норма производится просто г ² , в отличие от генерации C путем удвоения R . Когда этот C удваивается, он дает бикомплексные числа , а удвоение дает бикватернионы , а удвоение снова приводит к биоктонионам . Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная с помощью этой конструкции Кэли-Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством

${\ Displaystyle N (п \, д) = N (р) \, N (д) \ ,.}$

Комплексное сопряжение

Комплексное векторное пространство V ^C имеет более структурную структуру, чем обычное комплексное векторное пространство. Он поставляется с канонической картой комплексного сопряжения :

${\ displaystyle \ chi: V ^ {\ mathbb {C}} \ to {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

определяется

${\ displaystyle \ chi (v \ otimes z) = v \ otimes {\ bar {z}}.}$

Отображение χ может быть либо рассматривать как сопряженно-линейное отображение из V ^C к себе или в виде сложного линейного изоморфизма от V ^C к его комплексно сопряженное . ${\ Displaystyle {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

Наоборот, дано комплексное векторное пространство W с комплексным сопряжением χ , W изоморфно как комплексное векторное пространство комплексификации V ^C вещественного подпространства

${\ Displaystyle V = \ {w \ in W: \ chi (w) = w \}.}$

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.

Например, когда W = C ⁿ со стандартным комплексным сопряжением

${\ displaystyle \ chi (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = ({\ bar {z}} _ {1}, \ ldots, {\ bar {z}} _ {n})}$

инвариантное подпространство V - это просто вещественное подпространство R ⁿ .

Линейные преобразования

Для действительного линейного преобразования f  : V → W между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}: V ^ {\ mathbb {C}} \ to W ^ {\ mathbb {C}}}$

дано

${\ Displaystyle е ^ {\ mathbb {C}} (v \ otimes z) = f (v) \ otimes z.}$

Карта называется комплексификацией из е . Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам ${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}}$

• ${\ Displaystyle (\ mathrm {id} _ {V}) ^ {\ mathbb {C}} = \ mathrm {id} _ {V ^ {\ mathbb {C}}}}$
• ${\ Displaystyle (е \ circ g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} \ circ g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ Displaystyle (е + г) ^ {\ mathbb {C}} = е ^ {\ mathbb {C}} + г ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (af) ^ {\ mathbb {C}} = af ^ {\ mathbb {C}} \ quad \ forall a \ in \ mathbb {R}}$

На языке теории категорий говорят, что комплексификация определяет ( аддитивный ) функтор из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Отображение f ^C коммутирует со сопряжением и, таким образом, отображает вещественное подпространство V ^C в вещественное подпространство W ^C (через отображение f ). Более того, комплексное линейное отображение g  : V ^C → W ^C является комплексификацией вещественного линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует со сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из R ⁿ в R ^m, представленное как матрица размера m × n . Комплексификация этого преобразования представляет собой точно такую ​​же матрицу, но теперь рассматривается как линейное отображение от C ⁿ до C ^m .

Двойственные пространства и тензорные произведения

Двойного вещественного векторного пространства V пространство V * всех действительных линейных отображений из V в R . Комплексификацию V * естественно рассматривать как пространство всех вещественных линейных отображений из V в C (обозначаемых Hom _R ( V , C ) ). Это,

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} = V ^ {*} \ otimes \ mathbb {C} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {C}).}$

Изоморфизм задается формулой

${\ displaystyle (\ varphi _ {1} \ otimes 1+ \ varphi _ {2} \ otimes i) \ leftrightarrow \ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}$

где φ ₁ и φ ₂ - элементы V * . Комплексное сопряжение тогда дается обычной операцией

${\ Displaystyle {\ overline {\ varphi _ {1} + я \ varphi _ {2}}} = \ varphi _ {1} -i \ varphi _ {2}}$

Учитывая реальное линейное отображение ф  : V → C , мы можем расширить по линейности , чтобы получить комплексное линейное отображение ф  : V ^C → C . Это,

${\ Displaystyle \ varphi (v \ otimes z) = z \ varphi (v).}$

Это расширение дает изоморфизм Hom _R ( V , C ) в Hom _C ( V ^C , C ) . Последнее является просто комплексным двойственным пространством к V ^C , поэтому мы имеем естественный изоморфизм :

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} \ cong (V ^ {\ mathbb {C}}) ^ {*}.}$

В более общем смысле, для вещественных векторных пространств V и W существует естественный изоморфизм

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {C}} (V ^ {\ mathbb {C}}, W ^ {\ mathbb {C}}).}$

Комплексификация также коммутирует с операциями взятия тензорных произведений , внешних степеней и симметричных степеней . Например, если V и W - вещественные векторные пространства, существует естественный изоморфизм

${\ displaystyle (V \ otimes _ {\ mathbb {R}} W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong V ^ {\ mathbb {C}} \ otimes _ {\ mathbb {C}} W ^ {\ mathbb {C}} \ ,.}$

Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по действительным числам, а правое - по комплексам. То же самое и в целом. Например, есть

${\ displaystyle (\ Lambda _ {\ mathbb {R}} ^ {k} V) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ Lambda _ {\ mathbb {C}} ^ {k} (V ^ {\ mathbb {C}}).}$

Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».

Смотрите также

• Расширение скаляров - общий процесс
• Линейная сложная структура
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Рекомендации

• Халмос, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Springer. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

• Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп . Vol. I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Академическая пресса. п. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )

• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1.