Složitění - Complexification

V matematiky se complexification na vektorovém prostoru V nad reálných čísel ( „skutečný vektorový prostor“) se získá vektorový prostor V ^C nad komplexních čísel pole , získané formálně rozšířením měřítko vektorů reálných čísel, aby zahrnovala jejich škálování ("násobení") komplexními čísly. Jakýkoli základ pro V (prostor nad reálnými čísly) může také sloužit jako základ pro V ^C přes komplexní čísla.

Formální definice

Nechť je skutečný vektorový prostor. The${\ displaystyle V}$ complexification zV,je definován tím, že setensor produktzese komplexních čísel (myšlenka jako 2-rozměrný vektorový prostor přes reals): ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} = V \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ ,.}$

Dolní index, na tenzorovém součinu označuje, že tenzorový součin je převzat ze skutečných čísel (protože jde o skutečný vektorový prostor, je to stejně jediná rozumná možnost, takže dolní index lze bezpečně vynechat). Ve stávající podobě je pouze skutečný vektorový prostor. Můžeme však vytvořit složitý vektorový prostor definováním komplexního násobení následujícím způsobem: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle \ alpha (proti \ otimes \ beta) = proti \ otimes (\ alpha \ beta) \ qquad {\ mbox {pro všechny}} proti \ ve V {\ mbox {a}} \ alfa, \ beta \ v \ mathbb {C}.}$

Obecněji řečeno, komplexifikace je příkladem rozšíření skalárů - zde rozšíření skalárů od reálných čísel ke komplexním číslům - což lze provést pro jakékoli rozšíření pole nebo dokonce pro jakýkoli morfismus prstenů.

Formálně je komplexifikace funktorem Vect _R → Vect _C , z kategorie reálných vektorových prostorů do kategorie komplexních vektorových prostorů. Jedná se o adjunkční funktor - konkrétně levý adjoint - k zapomnětlivému funktoru Vect _C → Vect _R zapomínající na složitou strukturu.

Toto zapomínání na složitou strukturu komplexního vektorového prostoru se nazývá${\ displaystyle V}$dekomplexifikace (nebo někdy "realification „) Text. decomplexification komplexního vektorového prostorus báziodstraňuje možnost komplexního násobení skaláry čímž se získá reálný vektorový prostoro dvojnásobek rozměru na bázi${\ displaystyle V}$${\ displaystyle e _ {\ mu}}$${\ displaystyle W _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ {e _ {\ mu}, tj. _ {\ mu} \}.}$

Základní vlastnosti

Podle povahy tenzorového součinu lze každý vektor v ve V ^C zapsat jednoznačně ve formě

${\ displaystyle v = v_ {1} \ otimes 1 + v_ {2} \ otimes i}$

kde V ₁ a V ₂ jsou vektory v V . Je běžnou praxí upustit symbol produktu tensor a jednoduše psát

${\ displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. \,}$

Násobení komplexním číslem a + ib je pak dáno obvyklým pravidlem

${\ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). \,}$

Můžeme pak považovat V ^C za přímý součet dvou kopií V :

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} \ cong V \ oplus iV}$

s výše uvedeným pravidlem pro násobení komplexními čísly.

Existuje přirozené vložení V do V ^C dané

${\ displaystyle v \ mapsto proti \ otimes 1.}$

Vektorový prostor V pak může být považováno za skutečné podprostoru z V ^C . Jestliže V má základ { e _i } (přes pole R ), pak odpovídající základ V ^C je dána { e _i ⊗ 1} na pole C . Komplex rozměr z V ^C je tedy rovna skutečným rozměr V :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} V ^ {\ mathbb {C}} = \ dim _ {\ mathbb {R}} V.}$

Alternativně lze namísto použití tenzorových produktů použít tento přímý součet jako definici komplexifikace:

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}: = V \ oplus V,}$

kde je dána lineární komplexní strukturou operátorem J definovanou jako kde J kóduje operaci „násobení i “. V maticové formě je J dáno vztahem: ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} \\ I_ {V} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Tím se získá identický prostor - skutečný vektorový prostor s lineární komplexní strukturou je identická data s komplexním vektorovým prostorem - i když tento prostor konstruuje jinak. V souladu s tím lze psát jako nebo identifikovat V s prvním přímým součtem. Tento přístup je konkrétnější a má tu výhodu, že se vyhne použití technicky zapojeného tenzorového produktu, ale je ad hoc. ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V \ oplus JV}$${\ displaystyle V \ oplus iV,}$

Příklady

• Komplexizace skutečného souřadnicového prostoru R ⁿ je komplexní souřadnicový prostor C ⁿ .
• Podobně, pokud V sestává z matic m × n se skutečnými vstupy, V ^C by sestávalo z m × n matic se složitými vstupy.

Dickson zdvojnásobil

Proces komplexizace přechodem z R do C byl abstrahován matematiky dvacátého století, včetně Leonarda Dicksona . Se vychází pomocí mapování identity x * = x jako triviální involuci na R . Další dvě kopie R se používají k vytvoření z = ( a, b ) s komplexní konjugací zavedenou jako involuce z * = ( a , - b ) . Dva prvky w a z ve zdvojené množině se vynásobí

${\ displaystyle wz = (a, b) \ krát (c, d) = (ac \ - \ d ^ {*} b, \ da \ + \ bc ^ {*}).}$

Nakonec je zdvojené množině dána norma N ( z ) = z * z . Když začínáme od R involucí identity, zdvojená množina je C s normou a ² + b ² . Pokud jeden zdvojnásobí C a použije konjugaci ( a, b ) * = ( a *, - b ), získá konstrukce kvartony . Zdvojnásobení opět produkuje oktoniony , nazývané také Cayleyova čísla. To bylo v tomto bodě, kdy Dickson v roce 1919 přispěl k odhalení algebraické struktury.

Proces lze také zahájit pomocí C a triviální involuce z * = z . Norma vyrábí, potom z ² , na rozdíl od generace C zdvojením R . Když je toto C zdvojnásobeno, produkuje dvojkomplexní čísla a zdvojnásobení, které produkuje bikvaterniony , a zdvojnásobení vede opět k biokontonionům . Když je základní algebra asociativní, algebra produkovaná touto konstrukcí Cayley-Dickson se nazývá kompoziční algebra, protože lze ukázat, že má vlastnost

${\ displaystyle N (p \, q) = N (p) \, N (q) \ ,.}$

Složitá konjugace

Complexified vektorový prostor V ^C má větší strukturu než obyčejné komplexního vektorového prostoru. Dodává se s kanonickou komplexní konjugační mapou:

${\ displaystyle \ chi: V ^ {\ mathbb {C}} \ {{overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

definován

${\ displaystyle \ chi (v \ otimes z) = v \ otimes {\ bar {z}}.}$

Mapu χ lze považovat buď za lineární mapu konjugátu z V ^C k sobě samému, nebo za komplexní lineární izomorfismus z V ^C k jejímu komplexnímu konjugátu . ${\ displaystyle {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

Naopak, vzhledem ke složitému vektorovému prostoru W se složitou konjugací χ je W izomorfní jako komplexní vektorový prostor ke komplexizaci V ^C skutečného podprostoru

${\ displaystyle V = \ {w \ ve W: \ chi (w) = w \}.}$

Jinými slovy, všechny složité vektorové prostory se složitou konjugací jsou komplexizací skutečného vektorového prostoru.

Například když W = C ⁿ se standardní komplexní konjugací

${\ displaystyle \ chi (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = ({\ bar {z}} _ {1}, \ ldots, {\ bar {z}} _ {n})}$

invariantní podprostor V je pouze skutečný podprostor R ⁿ .

Lineární transformace

Vzhledem ke skutečné lineární transformaci f  : V → W mezi dvěma reálnými vektorovými prostory existuje přirozená komplexní lineární transformace

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}: V ^ {\ mathbb {C}} \ do W ^ {\ mathbb {C}}}$

dána

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}} (v \ otimes z) = f (v) \ otimes z.}$

Mapa se nazývá complexification o f . Složitost lineárních transformací splňuje následující vlastnosti ${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}}$

• ${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {V}) ^ {\ mathbb {C}} = \ mathrm {id} _ {V ^ {\ mathbb {C}}}}$
• ${\ displaystyle (f \ circ g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} \ circ g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (f + g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} + g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (af) ^ {\ mathbb {C}} = af ^ {\ mathbb {C}} \ quad \ forall a \ in \ mathbb {R}}$

V jazyce teorie kategorií se říká, že komplexifikace definuje ( aditivní ) funktor z kategorie reálných vektorových prostorů do kategorie komplexních vektorových prostorů.

Mapa f ^C dojíždí s konjugací a tak mapuje skutečný podprostor V ^C do skutečného podprostoru W ^C (prostřednictvím mapy f ). Složitá lineární mapa g  : V ^C → W ^C je navíc komplexizací skutečné lineární mapy právě tehdy, pokud dojíždí s konjugací.

Jako příklad zvažte lineární transformaci z R ⁿ na R ^m považovanou za matici m × n . Složitost této transformace je přesně stejná matice, ale nyní je považována za lineární mapu z C ⁿ na C ^m .

Duální prostory a tenzorové produkty

Dvojí skutečného vektorového prostoru V, je prostor V * všech reálných lineárních map od V do R . Složitost V * lze přirozeně považovat za prostor všech reálných lineárních map od V po C (označený Hom _R ( V , C ) ). To znamená,

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} = V ^ {*} \ otimes \ mathbb {C} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {C}).}$

Izomorfismus je dán vztahem

${\ displaystyle (\ varphi _ {1} \ otimes 1+ \ varphi _ {2} \ otimes i) \ leftrightarrow \ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}$

kde φ ₁ a φ ₂ jsou prvky V * . Složitá konjugace je pak dána obvyklou operací

${\ displaystyle {\ overline {\ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}} = \ varphi _ {1} -i \ varphi _ {2}}$

Vzhledem k tomu, skutečné lineární mapu cp  : V → C můžeme rozšířit pomocí linearitou získat komplexní lineární mapu cp  : V ^C → C . To znamená,

${\ displaystyle \ varphi (v \ otimes z) = z \ varphi (v).}$

Toto rozšíření poskytuje izomorfismus z Hom _R ( V , C ) do Hom _C ( V ^C , C ) . Ten druhý je jen složitý duální prostor k V ^C , takže máme přirozený izomorfismus :

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} \ cong (V ^ {\ mathbb {C}}) ^ {*}.}$

Obecněji řečeno, vzhledem k reálným vektorovým prostorům V a W existuje přirozený izomorfismus

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {C}} (V ^ {\ mathbb {C}}, W ^ {\ mathbb {C}}).}$

Komplexifikace také dojíždí s operacemi převzetí tenzorových produktů , vnějších sil a symetrických sil . Například pokud V a W jsou skutečné vektorové prostory, existuje přirozený izomorfismus

${\ displaystyle (V \ otimes _ {\ mathbb {R}} W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong V ^ {\ mathbb {C}} \ otimes _ {\ mathbb {C}} W ^ {\ mathbb {C}} \ ,.}$

Všimněte si, že levý tenzorový produkt je převzat z realit, zatímco pravý je převzat z komplexů. Stejný vzorec platí obecně. Například jeden má

${\ displaystyle (\ Lambda _ {\ mathbb {R}} ^ {k} V) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ Lambda _ {\ mathbb {C}} ^ {k} (V ^ {\ mathbb {C}}).}$

Ve všech případech jsou „zřetelnými“ izomorfismy.

Viz také

• Rozšíření skalárů - obecný proces
• Lineární komplexní struktura
• Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec

Reference

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Konečně-dimenzionální vektorové prostory . Springer. s. 41 a § 77 Složitění, s. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

• Shaw, Ronald (1982). Lineární algebra a skupinové reprezentace . Sv. I: Lineární algebra a úvod do skupinových reprezentací. Akademický tisk. p. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume=má další text ( nápověda )

• Roman, Steven (2005). Pokročilá lineární algebra . Postgraduální texty z matematiky. 135 (2. vydání). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.