Complexificatie - Complexification

In wiskunde , de complexificatie van een vectorruimte V in het gebied van reële getallen (een "echte vectorruimte") levert een vectorruimte V ^C via complexe getal veld , verkregen door formele uitbreiding van de schaling van vectoren met reële getallen zijn onder meer schalen ("vermenigvuldigen") met complexe getallen. Elke basis voor V (een spatie over de reële getallen) kan ook dienen als basis voor V ^C over de complexe getallen.

Formele definitie

Laat een echte vectorruimte zijn. De${\displaystyle V}$ complexificatie vanVwordt gedefinieerd door hettensorproductvan te nemenmet de complexe getallen (beschouwd als een 2-dimensionale vectorruimte over de reële getallen): ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}$

Het subscript, , op het tensorproduct geeft aan dat het tensorproduct wordt overgenomen van de reële getallen (aangezien het een reële vectorruimte is, is dit sowieso de enige verstandige optie, dus het subscript kan veilig worden weggelaten). Zoals het er nu uitziet, is het slechts een echte vectorruimte. We kunnen echter een complexe vectorruimte maken door complexe vermenigvuldiging als volgt te definiëren: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$

${\ Displaystyle \ alpha (v \ otimes \ beta ) = v \ otimes (\ alpha \ beta ) \ qquad {\ mbox { voor alle }} v \ in V {\ mbox { en }} \ alpha , \ beta \ in \mathbb {C} .}$

Meer in het algemeen is complexificatie een voorbeeld van uitbreiding van scalairen - hier uitbreiding van scalaire getallen van de reële getallen naar de complexe getallen - wat kan worden gedaan voor elke velduitbreiding , of zelfs voor elk morfisme van ringen.

Formeel is complexificatie een functor Vect _R → Vect _C , van de categorie van reële vectorruimten tot de categorie van complexe vectorruimten. Dit is de adjoint functor – met name de linker adjoint – voor de vergeetachtige functor Vect _C → Vect _R die de complexe structuur vergeet.

Dit vergeten van de complexe structuur van een complexe vectorruimte heet${\displaystyle V}$decomplexificatie (of soms "realification "). De decomplexificatie van een complexe vectorruimtemet basisverwijdert de mogelijkheid van complexe vermenigvuldiging van scalairen, waardoor een reële vectorruimte wordt verkregenvan tweemaal de dimensie met een basis${\displaystyle V}$${\displaystyle e_{\mu}}$${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \{e_{\mu},ie_{\mu }\}.}$

Basiseigenschappen

Door de aard van het tensorproduct kan elke vector v in V ^C uniek worden geschreven in de vorm

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

waarbij v ₁ en v ₂ vectoren in V zijn . Het is gebruikelijk om het tensorproductsymbool te laten vallen en gewoon te schrijven

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

Vermenigvuldiging met het complexe getal a + ib wordt dan gegeven door de gebruikelijke regel

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

We kunnen dan V ^{C beschouwen} als de directe som van twee kopieën van V :

${\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C} } \ cong V \ oplus iV}$

met de bovenstaande regel voor vermenigvuldiging met complexe getallen.

Er is een natuurlijke inbedding van V in V ^C gegeven door

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

De vectorruimte V kan dan worden beschouwd als een reële deelruimte van V ^C . Als V een basis { e _i } heeft (over het veld R ) dan wordt een overeenkomstige basis voor V ^C gegeven door { e _i ⊗ 1 } over het veld C . De complexe afmeting van V ^C is dus gelijk aan de reële afmeting van V :

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

Als alternatief kan men, in plaats van tensorproducten, deze directe som gebruiken als de definitie van de complexificatie:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

waarbij een lineaire complexe structuur wordt gegeven door de operator J gedefinieerd als waarbij J codeert voor de bewerking van "vermenigvuldiging met i ". In matrixvorm wordt J gegeven door: ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

Dit levert de identieke ruimte op - een echte vectorruimte met lineaire complexe structuur is identieke gegevens aan een complexe vectorruimte - hoewel het de ruimte anders construeert. Dienovereenkomstig kan worden geschreven als of identificerend V met de eerste directe sommatie. Deze benadering is concreter en heeft als voordeel dat het gebruik van het technisch betrokken tensorproduct wordt vermeden, maar is ad hoc. ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle V\oplus JV}$${\displaystyle V\oplus iV,}$

Voorbeelden

• De complexificatie van reële coördinatenruimte R ⁿ is de complexe coördinatenruimte C ⁿ .
• Evenzo, als V bestaat uit de m × n- matrices met reële invoer, zou V ^C bestaan ​​uit m × n- matrices met complexe invoer.

Dickson verdubbeling

Het proces van complexiteit door van R naar C te gaan, werd geabstraheerd door twintigste-eeuwse wiskundigen, waaronder Leonard Dickson . Men begint met het gebruik van de identiteitstoewijzing x * = x als een triviale involutie op R . Vervolgens worden twee kopieën van R gebruikt om z = ( a , b ) te vormen met de complexe conjugatie geïntroduceerd als de involutie z * = ( a , b ) . Twee elementen w en z in de verdubbelde verzameling vermenigvuldigen met

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

Ten slotte krijgt de verdubbelde verzameling een norm N ( z ) = z* z . Als we uitgaan van R met de identiteitsinvolutie, is de verdubbelde verzameling C met de norm a ² + b ² . Als men C verdubbelt , en conjugatie ( a, b )* = ( a *, – b ) gebruikt, levert de constructie quaternionen op . Verdubbelen levert weer octonions op , ook wel Cayley-getallen genoemd. Het was op dit punt dat Dickson in 1919 bijdroeg aan het blootleggen van de algebraïsche structuur.

Het proces kan ook worden gestart met C en de triviale involutie z * = z . De geproduceerde norm is eenvoudig z ² , in tegenstelling tot het genereren van C door R te verdubbelen . Wanneer deze C wordt verdubbeld, produceert het bicomplexe getallen , en verdubbeling dat levert biquaternionen op , en opnieuw verdubbelen resulteert in bioctonions . Wanneer de basisalgebra associatief is, wordt de algebra geproduceerd door deze Cayley-Dickson-constructie een compositiealgebra genoemd, omdat kan worden aangetoond dat deze de eigenschap heeft

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

Complexe vervoeging

De complexe vectorruimte V ^c heeft meer structuur dan een gewone complexe vectorruimte. Het wordt geleverd met een canonieke complexe vervoegingskaart :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

gedefinieerd door

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

De kaart χ kan ofwel als een conjugaat-lineaire afbeelding van V ^C aan zichzelf of als een complex lineair isomorfisme van V ^C zijn complex geconjugeerde . ${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

Omgekeerd, gegeven een complexe vectorruimte W met een complexe conjugatie χ , is W isomorf als een complexe vectorruimte met de complexificatie V ^C van de reële deelruimte

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

Met andere woorden, alle complexe vectorruimten met complexe conjugatie zijn de complexificatie van een reële vectorruimte.

Bijvoorbeeld, wanneer W = C ⁿ met de standaard complexe vervoeging

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots,{\bar {z}}_{n})}$

de invariante deelruimte V is gewoon de reële deelruimte R ⁿ .

Lineaire transformaties

Gegeven een reële lineaire transformatie f  : V → W tussen twee reële vectorruimten is er een natuurlijke complexe lineaire transformatie

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\naar W^{\mathbb {C} }}$

gegeven door

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

De kaart wordt de complexificatie van f genoemd . De complexificatie van lineaire transformaties voldoet aan de volgende eigenschappen: ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \vooral een \in \mathbb {R} }$

In de taal van de categorietheorie zegt men dat complexificatie een ( additieve ) functor definieert van de categorie van reële vectorruimten tot de categorie van complexe vectorruimten.

De kaart f ^C pendelt met conjugatie en brengt zo de reële deelruimte van V ^{C in kaart} met de reële deelruimte van W ^C (via de kaart f ). Bovendien is een complexe lineaire afbeelding g  : V ^C → W ^C de complexificatie van een echte lineaire afbeelding dan en slechts dan als deze pendelt met conjugatie.

Beschouw als voorbeeld een lineaire transformatie van R ⁿ naar R ^{m ,} gezien als een m × n - matrix . De complexiteit van die transformatie is precies dezelfde matrix, maar nu beschouwd als een lineaire afbeelding van C ⁿ naar C ^m .

Dubbele spaties en tensorproducten

De dual van een reële vectorruimte V is de ruimte V * van alle reële lineaire afbeeldingen van V naar R . De complexificatie van V * kan natuurlijk worden gezien als de ruimte van alle echte lineaire afbeeldingen van V naar C (aangeduid als Hom _R ( V , C ) ). Dat is,

${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\ mathbb {C} ).}$

Het isomorfisme wordt gegeven door

${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$

waarbij φ ₁ en φ ₂ elementen zijn van V * . Complexe vervoeging wordt dan gegeven door de gebruikelijke bewerking

${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}}$

Gegeven een reële lineaire afbeelding φ  : V → C kunnen we lineair uitbreiden om een ​​complexe lineaire afbeelding φ te verkrijgen  : V ^C → C . Dat is,

${\ Displaystyle \ varphi (v \ otimes z) = z \ varphi (v).}$

Deze uitbreiding geeft een isomorfisme van Hom _R ( V , C ) naar Hom _C ( V ^C , C ) . De laatste is gewoon de complexe dubbele ruimte naar V ^C , dus we hebben een natuurlijk isomorfisme :

${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$

Meer in het algemeen, gegeven reële vectorruimten V en W is er een natuurlijk isomorfisme

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R} } (V, W) ^ {\ mathbb {C} } \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {C} } (V ^ {\ mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$

Complexificatie gaat ook gepaard met de operaties van het nemen van tensorproducten , uitwendige krachten en symmetrische krachten . Als V en W bijvoorbeeld reële vectorruimten zijn, is er een natuurlijk isomorfisme

${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\ mathbb {C} }\,.}$

Merk op dat het linker tensorproduct de reals overneemt, terwijl het rechter tensorproduct de complexen overneemt. Hetzelfde patroon geldt in het algemeen. Zo heeft men bv

${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$

In alle gevallen zijn de isomorfismen de "voor de hand liggende".

Zie ook

• Uitbreiding van scalaire waarden - algemeen proces
• Lineaire complexe structuur
• Baker-Campbell-Hausdorff-formule

Referenties

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Eindig-dimensionale vectorruimten . springer. p 41 en § 77 Complexificatie, pp 150-153. ISBN 0-387-90093-4.

• Shaw, Ronald (1982). Lineaire algebra en groepsrepresentaties . Vol. I: lineaire algebra en inleiding tot groepsrepresentaties. Academische pers. blz. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume=heeft extra tekst ( help )

• Roman, Steven (2005). Geavanceerde lineaire algebra . Afstudeerteksten in de wiskunde. 135 (2e ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.