Kompleksisering - Complexification

I matematikk gir kompleksiseringen av et vektorrom V over feltet med reelle tall (et "reelt vektorrom") et vektorrom V ^C over det komplekse tallfeltet , oppnådd ved å formelt utvide skaleringen av vektorene med reelle tall for å inkludere deres skalering ("multiplikasjon") med komplekse tall. Ethvert grunnlag for V (et mellomrom over reelle tall) kan også tjene som grunnlag for V ^C over de komplekse tallene.

Formell definisjon

La være et ekte vektorrom. De${\ displaystyle V}$ kompleksisering avVer definert ved å tatensorproduktetavmed de komplekse tallene (tenkt som et 2-dimensjonalt vektorrom over realene): ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} = V \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ ,.}$

Subskriptet, på tensorproduktet, indikerer at tensorproduktet blir overtatt de reelle tallene (siden det er et reelt vektorrom er dette det eneste fornuftige alternativet uansett, slik at abonnementet trygt kan utelates). Slik det ser ut, er det bare et reelt vektorrom. Imidlertid kan vi lage et komplekst vektorrom ved å definere kompleks multiplikasjon som følger: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle \ alpha (v \ otimes \ beta) = v \ otimes (\ alpha \ beta) \ qquad {\ mbox {for all}} v \ i V {\ mbox {og}} \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}.}$

Mer generelt er kompleksisering et eksempel på utvidelse av skalarer - her utvider skalarer fra de reelle tallene til de komplekse tallene - som kan gjøres for enhver feltforlengelse , eller faktisk for enhver morfisme av ringer.

Formelt er complexification en funktor Vect _R → Vect _C , fra kategorien av virkelige vektorrom til den kategori av komplekse vektorrom. Dette er den tilgrensende funksjonen - spesielt den venstre tilgrensende - til den glemsomme funksjonen Vect _C → Vect _{R som} glemmer den komplekse strukturen.

Denne glemmen av den komplekse strukturen til et komplekst vektorrom kalles${\ displaystyle V}$dekompleksisering (eller noen ganger "Dekompleksifisering av et komplekst vektorrommed basisfjerner muligheten for kompleks multiplikasjon av skalarer, og gir dermed et reelt vektorrommed dobbelt dimensjon med et grunnlag${\ displaystyle V}$${\ displaystyle e _ {\ mu}}$${\ displaystyle W _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ {e _ {\ mu}, dvs. _ {\ mu} \}.}$

Grunnleggende egenskaper

Av karakteren til tensorproduktet kan hver vektor v i V ^C skrives unikt i form

${\ displaystyle v = v_ {1} \ otimes 1 + v_ {2} \ otimes i}$

hvor v ₁ og v ₂ er vektorer i V . Det er vanlig å slippe tensorprodukt-symbolet og bare skrive

${\ displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. \,}$

Multiplikasjon med det komplekse tallet a + ib er gitt av den vanlige regelen

${\ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). \,}$

Vi kan da betrakte V ^C som den direkte summen av to eksemplarer av V :

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} \ cong V \ oplus iV}$

med ovennevnte regel for multiplikasjon med komplekse tall.

Det er en naturlig innebygging av V i V ^C gitt av

${\ displaystyle v \ mapsto v \ otimes 1.}$

Vektorrommet V kan da betraktes som en ekte underrom av V ^C . Hvis V har en basis { e _i } (over feltet R ) og deretter et tilsvarende basis for V ^C er gitt ved { e _i ⊗ 1} over feltet C . Den komplekse dimensjonen til V ^C er derfor lik den virkelige dimensjonen til V :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} V ^ {\ mathbb {C}} = \ dim _ {\ mathbb {R}} V.}$

Alternativt, i stedet for å bruke tensorprodukter, kan man bruke denne direkte summen som definisjonen av kompleksiseringen:

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}: = V \ oplus V,}$

hvor er gitt en lineær kompleks struktur av operatøren J definert som hvor J koder operasjonen av "multiplikasjon med i ". I matriseform er J gitt av: ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} \\ I_ {V} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Dette gir det samme rommet - et reelt vektorrom med lineær kompleks struktur er identiske data med et komplekst vektorrom - selv om det konstruerer rommet annerledes. Følgelig kan skrives som eller identifisere V med den første direkte summand. Denne tilnærmingen er mer konkret, og har fordelen av å unngå bruk av det teknisk involverte tensorproduktet, men er ad hoc. ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V \ oplus JV}$${\ displaystyle V \ oplus iV,}$

Eksempler

• Den complexification av virke koordinatrommet R ⁿ er den komplekse koordinatrommet C ⁿ .
• På samme måte, hvis V består av m × n- matriser med reelle oppføringer, vil V ^C bestå av m × n- matriser med komplekse oppføringer.

Dickson doblet

Prosessen med kompleksisering ved å flytte fra R til C ble abstrahert av matematikere fra det tjuende århundre, inkludert Leonard Dickson . Man starter med å bruke identidetsmapping x * = x som en triviell involusjon på R . Neste to eksemplarer av R brukes til å danne z = ( a, b ) med den komplekse konjugasjonen introdusert som involusjonen z * = ( a , - b ) . To elementer w og z i det doblede settet multipliseres med

${\ displaystyle wz = (a, b) \ times (c, d) = (ac \ - \ d ^ {*} b, \ da \ + \ bc ^ {*}).}$

Til slutt får det doblede settet en norm N ( z ) = z * z . Når du starter fra R med identitetsinvolusjonen, er det doblede settet C med normen a ² + b ² . Hvis man dobler C , og bruker konjugasjon ( a, b ) * = ( a *, - b ), gir konstruksjonen kvaternjoner . Dobling gir igjen oktioner , også kalt Cayley-tall. Det var på dette tidspunktet at Dickson i 1919 bidro til å avdekke algebraisk struktur.

Prosessen kan også startes med C og den trivielle involusjonen z * = z . Den norm som produseres er simpelthen z ² , i motsetning til dannelsen av C ved å doble R . Når denne C er doblet, produserer den to- komplekse tall , og dobling som produserer tovekter , og dobling igjen resulterer i bioktonjoner . Når basisalgebra er assosiativ, kalles algebra produsert av denne Cayley-Dickson-konstruksjonen en komposisjonsalgebra siden det kan vises at den har egenskapen

${\ displaystyle N (p \, q) = N (p) \, N (q) \ ,.}$

Kompleks bøyning

Det kompleksiserte vektorrommet V ^C har mer struktur enn et vanlig komplekst vektorrom. Den leveres med et kanonisk komplekst bøyingskart :

${\ displaystyle \ chi: V ^ {\ mathbb {C}} \ to {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

definert av

${\ displaystyle \ chi (v \ otimes z) = v \ otimes {\ bar {z}}.}$

Kartet χ kan enten betraktes som et konjugat-lineært kart fra V ^C til seg selv, eller som en kompleks lineær isomorfisme fra V ^C til dets komplekse konjugat . ${\ displaystyle {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

Omvendt, gitt et komplekst vektorrom W med en kompleks konjugasjon χ , er W isomorf som et komplekst vektorrom til kompleksiseringen V ^C i det virkelige underområdet

${\ displaystyle V = \ {w \ i W: \ chi (w) = w \}.}$

Med andre ord, alle komplekse vektorrom med kompleks konjugering er kompleksiseringen av et reelt vektorrom.

For eksempel når W = C ⁿ med standard kompleks konjugasjon

${\ displaystyle \ chi (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = ({\ bar {z}} _ {1}, \ ldots, {\ bar {z}} _ {n})}$

det invariante delområdet V er bare det virkelige underområdet R ⁿ .

Lineære transformasjoner

Gitt en reell lineær transformasjon f  : V → W mellom to reelle vektorrom er det en naturlig kompleks lineær transformasjon

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}: V ^ {\ mathbb {C}} \ til W ^ {\ mathbb {C}}}$

gitt av

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}} (v \ otimes z) = f (v) \ otimes z.}$

Kartet kalles kompleksisering av f . Kompleksiseringen av lineære transformasjoner tilfredsstiller følgende egenskaper ${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}}$

• ${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {V}) ^ {\ mathbb {C}} = \ mathrm {id} _ {V ^ {\ mathbb {C}}}}$
• ${\ displaystyle (f \ circ g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} \ circ g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (f + g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} + g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (af) ^ {\ mathbb {C}} = af ^ {\ mathbb {C}} \ quad \ forall a \ in \ mathbb {R}}$

På språket for kategoriteori sier man at kompleksisering definerer en ( additiv ) funktor fra kategorien av reelle vektorrom til kategorien av komplekse vektorrom.

Kartet f ^C pendler med konjugasjon og kartlegger så det virkelige underområdet til V ^C til det virkelige underområdet til W ^C (via kartet f ). Videre er et komplekst lineært kart g  : V ^C → W ^C kompleksiseringen av et reelt lineært kart hvis og bare hvis det pendler med konjugasjon.

Som et eksempel kan du vurdere en lineær transformasjon fra R ⁿ til R ^m, betraktet som en m × n matrise . Kompleksiseringen av den transformasjonen er nøyaktig den samme matrisen, men nå tenkt på som et lineært kart fra C ⁿ til C ^m .

Dobbeltrom og tensorprodukter

Den doble av en ekte vektorrom V er den plass V * av all fast lineær transformasjon fra V til R . Kompleksiseringen av V * kan naturlig tenkes på som rommet til alle reelle lineære kart fra V til C (betegnet Hom _R ( V , C ) ). Det er,

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} = V ^ {*} \ otimes \ mathbb {C} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {C}).}$

Isomorfismen er gitt av

${\ displaystyle (\ varphi _ {1} \ otimes 1+ \ varphi _ {2} \ otimes i) \ leftrightarrow \ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}$

hvor φ ₁ og φ ₂ er elementer av V * . Kompleks konjugering blir deretter gitt ved vanlig operasjon

${\ displaystyle {\ overline {\ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}} = \ varphi _ {1} -i \ varphi _ {2}}$

Gitt en virkelig lineær transformasjon φ  : V → C vi kan strekke seg fra linearitet for å oppnå et sammensatt lineær transformasjon φ  : V ^C → C . Det er,

${\ displaystyle \ varphi (v \ otimes z) = z \ varphi (v).}$

Denne utvidelsen gir en isomorfisme fra Hom _R ( V , C ) til Hom _C ( V ^C , C ) . Sistnevnte er bare det komplekse dobbeltrommet til V ^C , så vi har en naturlig isomorfisme :

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} \ cong (V ^ {\ mathbb {C}}) ^ {*}.}$

Mer generelt, gitt virkelige vektorrom V og W , er det en naturlig isomorfisme

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {C}} (V ^ {\ mathbb {C}}, W ^ {\ mathbb {C}}).}$

Kompleksisering pendler også med operasjonene med å ta tensorprodukter , ytre krefter og symmetriske krefter . For eksempel, hvis V og W er reelle vektorrom, er det en naturlig isomorfisme

${\ displaystyle (V \ otimes _ {\ mathbb {R}} W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong V ^ {\ mathbb {C}} \ otimes _ {\ mathbb {C}} W ^ {\ mathbb {C}} \ ,.}$

Legg merke til at det venstre tensorproduktet blir tatt over realet mens det høyre er tatt over kompleksene. Det samme mønsteret gjelder generelt. For eksempel har man det

${\ displaystyle (\ Lambda _ {\ mathbb {R}} ^ {k} V) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ Lambda _ {\ mathbb {C}} ^ {k} (V ^ {\ mathbb {C}}).}$

I alle tilfeller er isomorfismene de "åpenbare".

Se også

• Utvidelse av skalarer - generell prosess
• Lineær kompleks struktur
• Baker – Campbell – Hausdorff formel

Referanser

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Endelige dimensjonale vektorrom . Springer. s 41 og §77 Kompleksisering, s 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

• Shaw, Ronald (1982). Lineær algebra og gruppepresentasjoner . Vol. I: Lineær algebra og introduksjon til gruppepresentasjoner. Akademisk presse. s. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume=har ekstra tekst ( hjelp )

• Roman, Steven (2005). Avansert lineær algebra . Graduate Texts in Mathematics. 135 (2. utg.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.