Kompleksering - Complexification

I matematik , den complexification af et vektorrum V over marken af reelle tal (en "rigtig vektorrum") giver et vektorrum V ^C over komplekse tal område , opnået ved formelt forløbende skalering af vektorer ved reelle tal til at omfatte deres skalering ("multiplikation") med komplekse tal. Alle grundlag for V (et mellemrum i løbet af de reelle tal) kan også tjene som et grundlag for V ^C i løbet af de komplekse tal.

Formel definition

Lad være et ægte vektorrum. Det${\ displaystyle V}$ complexification afVer defineret ved at tagetensor produktafde komplekse tal (tænkt som en 2-dimensional vektorrum over reelle tal): ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} = V \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ ,.}$

Subskriptet på tensorproduktet indikerer, at tensorproduktet overtages af de reelle tal (da det er et reelt vektorrum, er dette alligevel den eneste fornuftige mulighed, så abonnementet kan sikkert udelades). Som det ser ud, er det kun et ægte vektorrum. Vi kan dog skabe et komplekst vektorrum ved at definere kompleks multiplikation som følger: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle \ alpha (v \ otimes \ beta) = v \ otimes (\ alpha \ beta) \ qquad {\ mbox {for all}} v \ i V {\ mbox {og}} \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}.}$

Mere generelt er kompleksering et eksempel på udvidelse af skalarer - her udvider skalarer fra de reelle tal til de komplekse tal - hvilket kan gøres for enhver feltudvidelse eller faktisk for enhver morfisme af ringe.

Formelt er kompleksering en funktor Vect _R → Vect _C , fra kategorien af ​​reelle vektorrum til kategorien af ​​komplekse vektorrum. Dette er den sammenhængende funktor - specifikt den venstre adjoint - til den glemsomme funktor Vect _C → Vect _{R, der} glemmer den komplekse struktur.

Denne glemning af den komplekse struktur i et komplekst vektorrum kaldes${\ displaystyle V}$dekompleksering (eller nogle gange "dekompleksering af et komplekst vektorrummed basisfjerner muligheden for kompleks multiplikation af skalarer, hvilket giver et reelt vektorrummed dobbelt så stor dimension som et basis${\ displaystyle V}$${\ displaystyle e _ {\ mu}}$${\ displaystyle W _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ {e _ {\ mu}, dvs. _ {\ mu} \}.}$

Grundlæggende egenskaber

Af arten af tensor produkt, hver vektor v i V ^C kan skrives entydigt i form

${\ displaystyle v = v_ {1} \ otimes 1 + v_ {2} \ otimes i}$

hvor v ₁ og v ₂ er vektorer i V . Det er en almindelig praksis at droppe tensor-produktsymbolet og bare skrive

${\ displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. \,}$

Multiplikation med det komplekse tal a + ib gives derefter ved den sædvanlige regel

${\ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). \,}$

Vi kan så betragte V ^C som den direkte sum af to kopier af V :

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} \ cong V \ oplus iV}$

med ovenstående regel til multiplikation med komplekse tal.

Der er en naturlig indlejring af V i V ^C givet af

${\ displaystyle v \ mapsto v \ otimes 1.}$

Vektorrummet V kan derfor betragtes som en reel underrum af V ^C . Hvis V har en basis { e _i } (over feltet R ), så en tilsvarende grundlag for V ^C er givet ved { e _i ⊗ 1} over feltet C . Den komplekse dimension af V ^C er derfor lig med den reelle dimension V :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} V ^ {\ mathbb {C}} = \ dim _ {\ mathbb {R}} V.}$

Alternativt kan man i stedet for at bruge tensorprodukter bruge denne direkte sum som definitionen af kompleksiseringen:

${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}: = V \ oplus V,}$

hvor er givet en lineær kompleks struktur af operatoren J defineret som hvor J koder for operationen af ​​"multiplikation med i ". I matrixform er J givet ved: ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} \\ I_ {V} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Dette giver det samme rum - et ægte vektorrum med lineær kompleks struktur er identiske data med et komplekst vektorrum - selvom det konstruerer rummet forskelligt. Følgelig kan skrives som eller identificere V med den første direkte summand. Denne tilgang er mere konkret og har fordelen ved at undgå brugen af ​​det teknisk involverede tensorprodukt, men er ad hoc. ${\ displaystyle V ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle V \ oplus JV}$${\ displaystyle V \ oplus iV,}$

Eksempler

• Den complexification af real koordinatrum R ⁿ er komplekset koordinatrum C ⁿ .
• Ligeledes, hvis V består af m × n- matricer med reelle poster, ville V ^C bestå af m × n- matricer med komplekse poster.

Dickson fordobles

Processen med kompleksisering ved at flytte fra R til C blev abstrakt af matematikere fra det tyvende århundrede, herunder Leonard Dickson . Én starter med anvendelse af identiske afbildning x * = x som en triviel involution på R . Næste to kopier af R bruges til at danne z = ( a, b ) med den komplekse konjugation indført som involutionen z * = ( a , - b ) . To elementer w og z i det dobbelte sæt ganges med

${\ displaystyle wz = (a, b) \ times (c, d) = (ac \ - \ d ^ {*} b, \ da \ + \ bc ^ {*}).}$

Endelig får det dobbelte sæt en norm N ( z ) = z * z . Ved start fra R med identiteten involution, den fordoblet sæt er C med normen en ² + b ² . Hvis man fordobler C og bruger konjugation ( a, b ) * = ( a *, - b ), giver konstruktionen kvaternioner . Fordobling producerer igen oktonioner , også kaldet Cayley-tal. Det var på dette tidspunkt, at Dickson i 1919 bidrog til at afdække algebraisk struktur.

Processen kan også igangsættes med C og den trivielle involvering z * = z . Normen produceret er simpelthen z ² modsætning genereringen af C ved at fordoble R . Når denne C fordobles, producerer den to- komplekse tal , og en fordobling, der producerer biquaternioner , og en fordobling resulterer igen i biotonioner . Når basisalgebraen er associerende, kaldes algebra produceret af denne Cayley-Dickson-konstruktion en kompositionsalgebra, da det kan vises, at den har egenskaben

${\ displaystyle N (p \, q) = N (p) \, N (q) \ ,.}$

Kompleks konjugation

Den complexified vektorrum V ^C har mere struktur end en almindelig kompleks vektorrum. Den leveres med et kanonisk kompleks bøjningskort :

${\ displaystyle \ chi: V ^ {\ mathbb {C}} \ til {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

defineret af

${\ displaystyle \ chi (v \ otimes z) = v \ otimes {\ bar {z}}.}$

Kortet χ kan enten betragtes som en konjugat-lineær afbildning fra V ^C til sig selv eller som et kompleks lineær isomorfi fra V ^C til dens komplekse konjugat . ${\ displaystyle {\ overline {V ^ {\ mathbb {C}}}}}$

Omvendt, givet et komplekst vektorrum W med en kompleks konjugation χ , er W isomorf som et komplekst vektorrum til kompleksiseringen V ^C af det virkelige underrum

${\ displaystyle V = \ {w \ i W: \ chi (w) = w \}.}$

Med andre ord er alle komplekse vektorrum med kompleks konjugering kompleksiseringen af ​​et ægte vektorrum.

For eksempel når W = C ⁿ med standard komplekskonjugation

${\ displaystyle \ chi (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = ({\ bar {z}} _ {1}, \ ldots, {\ bar {z}} _ {n})}$

den invariante underrum V er bare den virkelige underrum R ⁿ .

Lineære transformationer

Givet en reel lineær transformation f  : V → W mellem to reelle vektorrum er der en naturlig kompleks lineær transformation

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}: V ^ {\ mathbb {C}} \ til W ^ {\ mathbb {C}}}$

givet af

${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}} (v \ otimes z) = f (v) \ otimes z.}$

Kortet kaldes komplicering af f . Kompleksiseringen af ​​lineære transformationer opfylder følgende egenskaber ${\ displaystyle f ^ {\ mathbb {C}}}$

• ${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {V}) ^ {\ mathbb {C}} = \ mathrm {id} _ {V ^ {\ mathbb {C}}}}$
• ${\ displaystyle (f \ circ g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} \ circ g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (f + g) ^ {\ mathbb {C}} = f ^ {\ mathbb {C}} + g ^ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle (af) ^ {\ mathbb {C}} = af ^ {\ mathbb {C}} \ quad \ forall a \ in \ mathbb {R}}$

På kategoriets teorisprog siger man, at kompleksifikation definerer en ( additiv ) funktor fra kategorien af ​​reelle vektorrum til kategorien af ​​komplekse vektorrum.

Kortet f ^C pendler med konjugation og kortlægger det reelle underrum af V ^C til det virkelige underrum af W ^C (via kortet f ). Desuden er et komplekst lineært kort g  : V ^C → W ^C kompleksiseringen af ​​et reelt lineært kort, hvis og kun hvis det pendler med konjugation.

Som et eksempel overveje en lineær transformation fra R ⁿ til R ^m opfattes som en m × n matrix . Den complexification af denne omdannelse er nøjagtig den samme matrix, men nu opfattes som en lineær afbildning fra C ⁿ til C ^m .

Dobbeltrum og tensorprodukter

Den dobbelte af en rigtig vektorrum V er det rum V * af alle reelle lineære afbildninger fra V til R . Kompleksiseringen af V * kan naturligvis betragtes som rummet for alle reelle lineære kort fra V til C (betegnet Hom _R ( V , C ) ). Det er,

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} = V ^ {*} \ otimes \ mathbb {C} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {C}).}$

Isomorfismen er givet af

${\ displaystyle (\ varphi _ {1} \ otimes 1+ \ varphi _ {2} \ otimes i) \ leftrightarrow \ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}$

hvor φ ₁ og φ ₂ er elementer i V * . Kompleks konjugering gives derefter ved den sædvanlige operation

${\ displaystyle {\ overline {\ varphi _ {1} + i \ varphi _ {2}}} = \ varphi _ {1} -i \ varphi _ {2}}$

Givet en reel lineær afbildning φ  : V → C vi kan udvide med linearitet for at opnå en kompleks lineær afbildning φ  : V ^C → C . Det er,

${\ displaystyle \ varphi (v \ otimes z) = z \ varphi (v).}$

Denne udvidelse giver en isomorfisme fra Hom _R ( V , C ) til Hom _C ( V ^C , C ) . Sidstnævnte er bare det komplekse dobbelte rum til V ^C , så vi har en naturlig isomorfisme :

${\ displaystyle (V ^ {*}) ^ {\ mathbb {C}} \ cong (V ^ {\ mathbb {C}}) ^ {*}.}$

Mere generelt er der givet reelle vektorrum V og W en naturlig isomorfisme

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {R}} (V, W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {C}} (V ^ {\ mathbb {C}}, W ^ {\ mathbb {C}}).}$

Kompleksering pendler også med operationerne ved at tage tensorprodukter , ydre kræfter og symmetriske kræfter . For eksempel, hvis V og W er reelle vektorrum, er der en naturlig isomorfisme

${\ displaystyle (V \ otimes _ {\ mathbb {R}} W) ^ {\ mathbb {C}} \ cong V ^ {\ mathbb {C}} \ otimes _ {\ mathbb {C}} W ^ {\ mathbb {C}} \ ,.}$

Bemærk, at det venstre tensorprodukt overtages af realerne, mens det højre overtages af komplekserne. Det samme mønster gælder generelt. For eksempel har man det

${\ displaystyle (\ Lambda _ {\ mathbb {R}} ^ {k} V) ^ {\ mathbb {C}} \ cong \ Lambda _ {\ mathbb {C}} ^ {k} (V ^ {\ mathbb {C}}).}$

I alle tilfælde er isomorfierne de "åbenlyse".

Se også

• Udvidelse af skalarer - generel proces
• Lineær kompleks struktur
• Baker – Campbell – Hausdorff formel

Referencer

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Endelige-dimensionelle vektorrum . Springer. s 41 og §77 Kompleksifikation, s. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

• Shaw, Ronald (1982). Lineær algebra og gruppepræsentationer . Vol. I: Lineær algebra og introduktion til gruppepræsentationer. Akademisk presse. s. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume=har ekstra tekst ( hjælp )

• Roman, Steven (2005). Avanceret lineær algebra . Graduate Texts in Mathematics. 135 (2. udgave). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.