Funcție dreptunghiulară - Rectangular function

Funcția dreptunghiulară

Funcția dreptunghiulară (cunoscută și ca funcția dreptunghi , funcția rect , funcția Pi , funcția gate , puls unitate sau normalizat funcția boxcar ) este definit ca

${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 și {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1, & {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}$

Definițiile alternative ale funcției definesc 0, 1 sau nedefinit. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Relația cu funcția de vagon

Funcția dreptunghiulară este un caz special al funcției boxcar mai generale :

${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY / 2)) - u (t- (X + Y / 2)) = u (t-X + Y / 2) -u (tXY / 2)}$

unde este funcția Heaviside ; funcția este centrată la și are durată , de la până la . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle XY / 2}$${\ displaystyle X + Y / 2}$

Transformata Fourier a funcției dreptunghiulare

Cele unitare Transformate Fourier ale funcției dreptunghiulare sunt

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}$

folosind frecvența obișnuită f și

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ left (\ omega / 2 \ right)} {\ omega / 2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ left (\ omega / 2 \ right), \,}$

Diagrama funcției normalizate sinc (x) (adică sinc (πx)) cu componentele sale de frecvență spectrală.

folosind frecvența unghiulară ω, unde este forma neormalizată a funcției sinc . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Rețineți că atâta timp cât definiția funcției pulsului este motivată doar de comportamentul acesteia în experiența domeniului timp, nu există niciun motiv să credem că interpretarea oscilatorie (adică funcția de transformare Fourier) ar trebui să fie intuitivă sau înțeleasă direct de oameni . Cu toate acestea, unele aspecte ale rezultatului teoretic pot fi înțelese intuitiv, deoarece finitudinea în domeniul timpului corespunde unui răspuns de frecvență infinit. (Viceversa, o transformată Fourier finită va corespunde unui răspuns infinit al domeniului în timp.)

Relația cu funcția triunghiulară

Putem defini funcția triunghiulară ca fiind convoluția a două funcții dreptunghiulare:

${\ displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} * \ mathrm {rect}. \,}$

Utilizare în probabilitate

Văzând funcția dreptunghiulară ca o funcție de densitate de probabilitate , este un caz special al distribuției uniforme continue cu . Funcția caracteristică este ${\ displaystyle a = -1 / 2, b = 1/2}$

${\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k / 2)} {k / 2}},}$

iar funcția sa generatoare de momente este

${\ displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k / 2)} {k / 2}},}$

unde este funcția sinus hiperbolică . ${\ displaystyle \ sinh (t)}$

Aproximare rațională

Funcția de impuls poate fi, de asemenea, exprimată ca o limită a unei funcții raționale :

${\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}}}$

Demonstrarea validității

În primul rând, luăm în considerare cazul în care . Observați că termenul este întotdeauna pozitiv pentru întreg . Cu toate acestea, și , prin urmare, se apropie de zero pentru mari . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t <1}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$

Rezultă că:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} { 0 + 1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}$

În al doilea rând, luăm în considerare cazul în care . Observați că termenul este întotdeauna pozitiv pentru întreg . Cu toate acestea, și , prin urmare, crește foarte mare pentru mare . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t> 1}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$

Rezultă că:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} { + \ infty +1}} = 0, | t |> {\ frac {1} {2}}}$

În al treilea rând, luăm în considerare cazul în care . Putem pur și simplu să înlocuim în ecuația noastră: ${\ displaystyle | t | = {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {1 ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} {1 + 1}} = {\ frac {1} {2}}}$

Vedem că satisface definiția funcției pulsului.

${\ displaystyle \ donc \ mathrm {rect} (t) = \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t ) ^ {2n} +1}} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}}. \\\ sfârșit {cazuri}}}$

Vezi si

• Transformată Fourier
• Unda pătrată
• Funcția pas
• Filtru cu pălărie

Referințe