Funcția pas - Step function

În matematică, o funcție pe numerele reale se numește funcție de pas (sau funcție de scară ) dacă poate fi scrisă ca o combinație finită liniară de funcții indicatoare de intervale . În mod informal vorbind, o funcție pas este o funcție constantă în bucăți , care are doar multe piese finit.

Exemplu de funcție pas (graficul roșu). Această funcție pas special este dreapta-continuă .

Definiție și primele consecințe

O funcție se numește funcție pas dacă poate fi scrisă ca ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, pentru toate numerele reale ${\ displaystyle x}$

unde , sunt numere reale, sunt intervale și este funcția indicator a : ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ în A \\ 0 & {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { cazuri}}}$

În această definiție, se poate presupune că intervalele au următoarele două proprietăți: ${\ displaystyle A_ {i}}$

1. Intervalele sunt perechi disjuncte : pentru${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyset}$${\ displaystyle i \ neq j}$
2. Unirea intervalelor este întreaga linie reală:${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

Într-adevăr, dacă nu este cazul pentru început, se poate alege un set diferit de intervale pentru care aceste ipoteze sunt valabile. De exemplu, funcția pas

${\ displaystyle f = 4 \ chi _ {[- 5,1)} + 3 \ chi _ {(0,6)}}$

poate fi scris ca

${\ displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Variații ale definiției

Uneori, intervalele trebuie să fie deschise la dreapta sau să fie permise să fie singulare. Condiția conform căreia colecția de intervale trebuie să fie finită este adesea abandonată, în special în matematica școlară, deși trebuie să fie încă finită local, rezultând în definirea funcțiilor constante în bucăți.

Exemple

Funcția pas Heaviside este o funcție pas adesea folosit.

• O funcție constantă este un exemplu banal al unei funcții pas. Apoi, există un singur interval,${\ displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• Funcția de semn sgn ( x ) , care este -1 pentru numerele negative și +1 pentru numerele pozitive și este cea mai simplă funcție de pas neconstant.
• Funcția Heaviside H ( x ) , care este 0 pentru numerele negative și 1 pentru numerele pozitive, este echivalentă cu funcția de semn, până la o deplasare și o scară a gamei ( ). Este conceptul matematic din spatele unor semnale de testare , cum ar fi cele utilizate pentru a determina răspunsul pasului unui sistem dinamic .${\ displaystyle H = (\ operatorname {sgn} +1) / 2}$

Funcția dreptunghiulară , cea mai simplă funcție următoare.

• Funcția dreptunghiulară , funcția normală de vagon , este utilizată pentru a modela un impuls de unitate.

Non-exemple

• Funcția de parte întreagă nu este o funcție pas conform definiției acestui articol, deoarece are un număr infinit de intervale. Cu toate acestea, unii autori definesc și funcțiile pas cu un număr infinit de intervale.

Proprietăți

• Suma și produsul funcțiilor în două etape este din nou o funcție de etapă. Produsul unei funcții pas cu un număr este, de asemenea, o funcție pas. Ca atare, funcțiile pas formează o algebră peste numerele reale.
• O funcție pas necesită doar un număr finit de valori. Dacă intervalele pentru definiția de mai sus a funcției pas sunt disjuncte și unirea lor este linia reală, atunci pentru toate${\ displaystyle A_ {i},}$${\ displaystyle i = 0,1, \ dots, n}$${\ displaystyle f (x) = \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle x \ în A_ {i}.}$
• Integrala definită a unei funcții pas este liniară pe porțiuni funcție .
• Integrala Lebesgue a unei funcții pas este în cazul în care este lungimea intervalului , și se presupune aici că toate intervalele au o lungime finită. De fapt, această egalitate (privită ca o definiție) poate fi primul pas în construirea integralei Lebesgue.${\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ displaystyle \ ell (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$
• O variabilă discretă aleatorie este uneori definită ca o variabilă aleatorie a cărei funcție de distribuție cumulativă este constantă în bucăți. În acest caz, este local o funcție de pas (la nivel global, poate avea un număr infinit de pași). De obicei, orice variabilă aleatorie cu doar numeroase valori posibile este numită variabilă discretă aleatorie, în acest caz funcția lor de distribuție cumulativă nu este neapărat locală o funcție pas, întrucât infinit de multe intervale se pot acumula într-o regiune finită.

Vezi si

• Funcția crenelului
• Funcție definită în bucăți
• Funcția sigmoidă
• Funcție simplă
• Detectarea pasului
• Funcția pasului de unitate

Referințe