Funcție normală - Normal function
În teoria axiomatică a mulțimilor , o funcție f : Ord → Ord este numită normală (sau o funcție normală ) dacă și numai dacă este continuă (în ceea ce privește topologia ordinii ) și strict monotonă în creștere . Acest lucru este echivalent cu următoarele două condiții:
- Pentru fiecare limită ordinală γ (adică γ nu este nici zero, nici succesor), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Pentru toate ordinalele α < β , f ( α ) < f ( β ).
Exemple
O funcție normală simplă este dată de f ( α ) = 1 + α (vezi aritmetica ordinală ). Dar f ( α ) = α + 1 nu este normal - nu este continuu la nici un ordinal limită. Dacă β este un ordinal fix, atunci funcțiile f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (pentru β ≥ 1) și f ( α ) = β α (pentru β ≥ 2) sunt toate normal.
Exemple mai importante de funcții normale sunt date de numerele alefice , care conectează numerele ordinale și cardinale , și de numerele beth .
Proprietăți
Dacă f este normal, atunci pentru orice ordinal α ,
- f ( α ) ≥ α .
Dovadă : dacă nu, alegeți γ minim astfel încât f ( γ ) < γ . Deoarece f crește strict monoton, f ( f ( γ )) < f ( γ ), contrazicând minimalitatea lui γ .
Mai mult, pentru orice set S ne-gol de ordinali, avem
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Dovadă : „≥” rezultă din monotonitatea lui f și din definiția supremului . Pentru „≤”, setați δ = sup S și luați în considerare trei cazuri:
- dacă δ = 0, atunci S = {0} și sup f ( S ) = f (0);
- dacă δ = ν + 1 este un succesor , atunci există s în S cu ν < s , astfel încât δ ≤ s . Prin urmare, f ( δ ) ≤ f ( s ), ceea ce implică f (δ) ≤ sup f ( S );
- dacă δ este o limită diferită de zero, alegeți orice ν < δ și un s în S astfel încât ν < s (posibil din moment ce δ = sup S ). Prin urmare, f ( ν ) < f ( s ) astfel încât f ( ν ) <sup f ( S ), rezultând f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), după dorință .
Fiecare funcție normală f are puncte fixe în mod arbitrar mari; vezi lema cu punct fix pentru funcții normale pentru o dovadă. Se poate crea o funcție normală f ' : Ord → Ord, numită derivată a lui f , astfel încât f' ( α ) să fie punctul α -fix al lui f .
