Função normal - Normal function
Na teoria dos conjuntos axiomáticos , uma função f : Ord → Ord é chamada normal (ou uma função normal ) se e somente se for contínua (com respeito à topologia de ordem ) e estritamente monotonicamente crescente . Isso é equivalente às duas condições a seguir:
- Para cada limite ordinal γ (ou seja, γ não é zero nem sucessor), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Para todos os ordinais α < β , f ( α ) < f ( β ).
Exemplos
Uma função normal simples é dada por f ( α ) = 1 + α (ver aritmética ordinal ). Mas f ( α ) = α + 1 não é normal - não é contínuo em nenhum ordinal limite. Se β é um ordinal fixo, então as funções f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (para β ≥ 1) e f ( α ) = β α (para β ≥ 2) são todas normal.
Os exemplos mais importantes de funções normais são dados pelos números aleph , que conectam os números ordinais e cardinais , e pelos números beth .
Propriedades
Se f for normal, então para qualquer α ordinal ,
- f ( α ) ≥ α .
Prova : Caso contrário, escolha γ mínimo tal que f ( γ ) < γ . Como f é estritamente monotonicamente crescente, f ( f ( γ )) < f ( γ ), contradizendo a minimalidade de γ .
Além disso, para qualquer conjunto não vazio S de ordinais, temos
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Prova : "≥" decorre da monotonicidade de fe da definição do supremo . Para "≤", defina δ = sup S e considere três casos:
- se δ = 0, então S = {0} e sup f ( S ) = f (0);
- se δ = ν + 1 for um sucessor , então existe s em S com ν < s , de forma que δ ≤ s . Portanto, f ( δ ) ≤ f ( s ), o que implica f (δ) ≤ sup f ( S );
- se δ é um limite diferente de zero, escolha qualquer ν < δ , e um s em S tal que ν < s (possível porque δ = sup S ). Portanto, f ( ν ) < f ( s ) de modo que f ( ν ) <sup f ( S ), resultando em f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), conforme desejado .
Toda função normal f tem pontos fixos arbitrariamente grandes; veja o lema de ponto fixo para funções normais para uma prova. Pode-se criar uma função normal f ' : Ord → Ord, chamada de derivada de f , tal que f' ( α ) é o α- ésimo ponto fixo de f .
