Normale Funktion - Normal function
In der axiomatischen Mengenlehre heißt eine Funktion f : Ord → Ord genau dann normal (oder eine normale Funktion ), wenn sie stetig (bezüglich der Ordnungstopologie ) und streng monoton steigend ist . Dies entspricht den folgenden beiden Bedingungen:
- Für jede Grenzordinal γ (dh γ ist weder Null noch ein Nachfolger), f ( γ ) = sup { f ( ν ) : ν < γ }.
- Für alle Ordinalzahlen α < β , f ( α ) < f ( β ).
Beispiele
Eine einfache Normalfunktion ist durch f ( α ) = 1 + α (siehe Ordinalarithmetik ) gegeben. Aber f ( α ) = α + 1 ist nicht normal – es ist an keiner Grenzordinalzahl stetig. Ist β eine feste Ordinalzahl, dann sind die Funktionen f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (für β ≥ 1) und f ( α ) = β α (für β ≥ 2) alle normal.
Wichtigere Beispiele für normale Funktionen sind die Aleph-Zahlen , die Ordinal- und Kardinalzahlen verbinden , und die Beth-Zahlen .
Eigenschaften
Wenn f normal ist, dann gilt für jede Ordinalzahl α ,
- f ( α ) α .
Beweis : Falls nicht, wähle γ minimal mit f ( γ ) < γ . Da f streng monoton steigend ist, gilt f ( f ( γ )) < f ( γ ), was der Minimalität von γ widerspricht .
Außerdem gilt für jede nichtleere Menge S von Ordinalzahlen
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Beweis : "≥" folgt aus der Monotonie von f und der Definition des Supremums . Setze für "≤" δ = sup S und betrachte drei Fälle:
- wenn δ = 0, dann S = {0} und sup f ( S ) = f (0);
- ist δ = ν + 1 ein Nachfolger , dann existiert s in S mit ν < s , so dass δ ≤ s . Daher f ( δ ) ≤ f ( s ), was bedeutet , f (δ) ≤ sup F ( S );
- wenn δ ein Grenzwert ungleich Null ist, wähle ein beliebiges ν < δ und ein s in S mit ν < s (möglich, da δ = sup S ). Daher gilt f ( ν ) < f ( s ), so dass f ( ν ) < sup f ( S ), was f ( δ ) = sup { f (ν) : ν < δ } ≤ sup f ( S ), wie gewünscht , ergibt .
Jede Normalfunktion f hat beliebig große Fixpunkte; siehe das Fixpunktlemma für normale Funktionen für einen Beweis. Man kann eine Normalfunktion f' : Ord → Ord, die Ableitung von f genannt , erzeugen , so dass f' ( α ) der α -te Fixpunkt von f ist .
