Normaali toiminto - Normal function
Vuonna axiomatic joukko-oppi , funktio f : Ord → Ord kutsutaan normaalia (tai normaali toiminto ) jos ja vain jos se on jatkuvaa (suhteessa tilauksen rakenteeseen ) ja tiukasti monotonisesti kasvava . Tämä vastaa seuraavia kahta ehtoa:
- Jokaiselle rajalle ordinaali γ (eli γ ei ole nolla eikä seuraaja), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Kaikille ordinaaleille α < β , f ( α ) < f ( β ).
Esimerkkejä
Yksinkertaisen normaalitoiminnon antaa f ( α ) = 1 + α (katso ordinaalinen aritmeettinen ). Mutta f ( α ) = α + 1 ei ole normaalia - se ei ole jatkuvaa millään rajalla. Jos β on kiinteä ordinaali, funktiot f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α ( β ≥ 1) ja f ( α ) = β α ( β ≥ 2) ovat kaikki normaali.
Tärkeämpiä esimerkkejä normaalitoiminnoista ovat järjestys- ja kardinaalilukuja yhdistävät aleph -numerot sekä beth -numerot .
Ominaisuudet
Jos f on normaali, niin missä tahansa järjestyksessä α ,
- f ( α ) ≥ α .
Todiste : Jos ei, valitse γ minimaalinen niin, että f ( γ ) < γ . Koska f kasvaa ehdottomasti yksitoikkoisesti, f ( f ( γ )) < f ( γ ), mikä on ristiriidassa γ: n vähimmäismäärän kanssa .
Lisäksi, minkä tahansa ei-tyhjä joukko S on vihkikaavoista, olemme
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Todiste : "≥" seuraa f: n yksitoikkoisuudesta ja supremumin määritelmästä . Jos arvo on "≤", aseta δ = sup S ja harkitse kolmea tapausta:
- jos δ = 0, niin S = {0} ja sup f ( S ) = f (0);
- jos δ = ν + 1 on seuraaja , S: ssä on s , jossa ν < s , joten δ ≤ s . Siksi f ( δ ) ≤ f ( s ), mikä tarkoittaa f (δ) ≤ sup f ( S );
- jos δ on nollasta poikkeava raja, valita minkä tahansa ν < δ , ja s on S siten, että ν < s (on mahdollista, koska δ = sup S ). Siksi f ( ν ) < f ( s ) niin, että f ( ν ) <sup f ( S ), jolloin saadaan f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), halutulla tavalla .
Jokaisella normaalitoiminnolla f on mielivaltaisesti suuria kiinteitä pisteitä; katso normaalin funktion kiinteän pisteen lemmasta todiste. Voidaan luoda normaali funktio f ' : Ord → Ord, kutsutaan johdannainen on f siten, että f' ( α ) on α nnen kiinteän pisteen f .
