Normal funktion - Normal function
I aksiomatisk sætteori kaldes en funktion f : Ord → Ord normal (eller en normal funktion ), hvis og kun hvis den er kontinuerlig (med hensyn til ordenstopologien ) og strengt monotonisk stigende . Dette svarer til følgende to betingelser:
- For hver grænse ordinal γ (dvs. γ er hverken nul eller en efterfølger), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- For alle ordinaler α < β , f ( α ) < f ( β ).
Eksempler
En simpel normal funktion er givet ved f ( α ) = 1 + α (se ordinal aritmetik ). Men f ( α ) = α + 1 er ikke normalt - det er ikke kontinuerligt på nogen grænseordinal. Hvis β er en fast ordinal, så er funktionerne f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (for β ≥ 1), og f ( α ) = β α (for β ≥ 2) alle normal.
Flere vigtige eksempler på normale funktioner er givet af alefanumrene , der forbinder ordinal- og kardinalnumre og af beth -tallene .
Ejendomme
Hvis f er normal, så for enhver ordinal α ,
- f ( α ) ≥ α .
Bevis : Hvis ikke, skal du vælge γ minimal, således at f ( γ ) < γ . Da f strengt monotont stiger, f ( f ( γ )) < f ( γ ), der modsiger minimalitet af γ .
Desuden har vi for alle ikke-tomme sæt S med ordinals
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Bevis : "≥" følger af monotonien af f og definitionen af supremum . For "≤", sæt δ = sup S og overvej tre tilfælde:
- hvis δ = 0, så S = {0} og sup f ( S ) = f (0);
- hvis δ = ν + 1 er en efterfølger , så findes der s i S med ν < s , så δ ≤ s . Derfor er f ( δ ) ≤ f ( s ), hvilket indebærer f (δ) ≤ sup f ( S );
- hvis δ er en nul -grænse, vælg enhver ν < δ , og en s i S, således at ν < s (mulig, da δ = sup S ). Derfor f ( ν ) < f ( s ) således at f ( ν ) <sup f ( S ), hvilket giver f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), som ønsket .
Hver normal funktion f har vilkårligt store faste punkter; se fastpunktslemmaet for normale funktioner for et bevis. Man kan oprette en normal funktion f ' : Ord → Ord, kaldet derivatet af f , således at f' ( α ) er α -th faste punkt for f .
