Normál funkció - Normal function
Az axiomatikus halmazelméletben az f : Ord → Ord függvényt akkor és csak akkor nevezzük normálisnak (vagy normál függvénynek ), ha folyamatos (a sorrend topológiájához képest ) és szigorúan monoton növekszik . Ez a következő két feltétellel egyenértékű:
- Minden határérték sorrendi γ (azaz γ se nem zéró, sem utódja), F ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Minden α < β , f ( α ) < f ( β ) rendszámra .
Példák
Egy egyszerű normál függvényt az f ( α ) = 1 + α ad (lásd sorrendű számtani ). De f ( α ) = α + 1 nem normális - nem folytonos semmilyen határértéknél. Ha β egy rögzített ordinális, akkor a függvények f ( α ) = β + α , F ( α ) = β × α (a β ≥ 1), és az F ( α ) = β α (a β ≥ 2) mind Normál.
A normál funkciók fontosabb példái az aleph számok , amelyek sorszámot és kardinális számokat kötnek össze , valamint a beth számok .
Tulajdonságok
Ha f normális, akkor bármely α sorrendre ,
- f ( α ) ≥ α .
Bizonyítás : Ha nem, akkor válassza a γ minimumot, hogy f ( γ ) < γ legyen . Mivel f szigorúan monoton növekszik, f ( f ( γ )) < f ( γ ), ellentmondva a γ minimálisnak .
Továbbá minden nem üres sorrend S-re van
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Bizonyítás : "≥" az f monotonitásából és a szupremum definíciójából következik . "≤" esetén állítsa be a δ = sup S értéket, és vegyen figyelembe három esetet:
- ha δ = 0, akkor S = {0} és sup f ( S ) = f (0);
- ha δ = ν + 1 egy utódja , akkor létezik s a S a ν < s , úgy, hogy δ ≤ s . Ezért f ( δ ) ≤ f ( s ), ami azt jelenti, hogy f (δ) ≤ sup f ( S );
- ha δ egy nem nulla határértéket, válasszon olyan ν < δ , és s az S , hogy ν < s (lehetséges, mert δ = sup S ). Ezért f ( ν ) < f ( s ) úgy, hogy f ( ν ) <sup f ( S ), így f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), tetszés szerint .
Minden normál f függvénynek tetszőlegesen nagy fix pontjai vannak; bizonyítékként lásd a fixpontos lemmát a normál függvényekhez . Az egyik lehet létrehozni egy normális működését F „ : Ord → Ord, az úgynevezett származékot az F , úgy, hogy F” ( α ) az α -edik rögzített pontja f .
