Funcția subliniară - Sublinear function

În algebra liniară , o funcție subliniară (sau funcțională așa cum se folosește mai des în analiza funcțională ), numită și cvasi-seminormă sau funcțională Banach , pe un spațiu vectorial este o funcție reală- evaluată cu doar unele dintre proprietățile unei seminorme . Spre deosebire de seminorme, o funcție subliniară nu trebuie să fie negativă -evaluată și, de asemenea, nu trebuie să fie absolut omogenă . Seminormele sunt ele însele abstracții ale noțiunii mai bine cunoscute a normelor , în care o seminormă are toate proprietățile definitorii ale unei norme, cu excepția faptului că nu este necesară maparea vectorilor non-zero la valori nenule. ${\ displaystyle X}$

În analiza funcțională , denumirea funcțională Banach este uneori folosită, reflectând că acestea sunt cele mai frecvent utilizate atunci când se aplică o formulare generală a teoremei Hahn-Banach . Noțiunea de funcție subliniară a fost introdusă de Stefan Banach când și-a dovedit versiunea teoremei Hahn-Banach .

Există, de asemenea, o noțiune diferită în informatică , descrisă mai jos, care poartă și numele de „funcție subliniară”.

Definiții

Să fie un spațiu vectorial peste un câmp în care este fie numere reale sau numere complexe O functie reala-evaluate pe se numește o funcție subliniară (sau un subliniară funcțional în cazul în care ), și , de asemenea , uneori numit cvasi-seminormă sau o funcțională Banach , în cazul în care are aceste două proprietăți: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

Omogenitate pozitivă / omogenitate nonegativă :pentru orice realși oricare; și ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ în X}$
Subaditivitate / Inegalitate triunghi :pentru toți ${\ displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y)}$ ${\ displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ în X.}$ ${\ displaystyle x, y \ în X.}$
- Această condiție de subaditivitate necesită o valoare reală. ${\ displaystyle f}$

O funcție subliniară se numește pozitivă sau non-negativă dacă pentru toate ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ în X.}$

Setul tuturor funcțiilor subliniare pe denotate de poate fi parțial ordonat declarând dacă și numai dacă pentru toate O funcție subliniară este numită minimă dacă este un element minim de sub acest ordin. O funcție subliniară este minimă dacă și numai dacă este o funcționalitate reală liniară . ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p (x) \ leq q (x)}$ ${\ displaystyle x \ în X.}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$

Exemple și condiții suficiente

Fiecare seminormă și normă este o funcție subliniară și fiecare funcționalitate liniară reală este o funcție subliniară. Conversațiile nu sunt adevărate în general.

Dacă și sunt funcții subliniară pe un spațiu vectorial real , atunci acest lucru este harta Mai general, în cazul în care este orice colecție non-gol de funcționalelor subliniară pe un spațiu vectorial real și în cazul în care pentru toți , atunci este o funcțională pe subliniară ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ în X,}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ in {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X.}$

Funcțională liniară ON este o funcțională subliniară care nu este pozitiv și nu este un seminormă. ${\ displaystyle x \ mapsto -x}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$

Proprietăți

Fiecare funcție subliniară este funcțională convexă .

Dacă este o funcție subliniară cu valoare reală activată atunci: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p (0) = 0.}$
${\ displaystyle 0 \ leq p (x) + p (-x)}$ pentru fiecare ${\ displaystyle x \ în X.}$
${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ pentru toți ${\ displaystyle x \ în X.}$ ${\ displaystyle x \ în X.}$
- Harta definită de este o seminormă pe ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X.}$
- Acest lucru implică, în special, că cel puțin unul dintre și este non-negativ. ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (-x)}$
${\ displaystyle p (x) -p (y) \ leq p (xy)}$ pentru toți ${\ displaystyle x, y \ în X.}$

Seminorm asociat

Dacă este o funcție subliniară reală, atunci harta definește o seminormă numită seminormă asociată cu ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p.}$

Relația cu funcțiile liniare

Dacă este o funcție subliniară pe un spațiu vectorial real, atunci următoarele sunt echivalente: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p}$ este o funcționalitate liniară ;
pentru fiecare ; ${\ displaystyle x \ în X,}$ ${\ displaystyle p (x) + p (-x) \ leq 0}$
pentru fiecare ; ${\ displaystyle x \ în X,}$ ${\ displaystyle p (x) + p (-x) = 0}$
${\ displaystyle p}$ este o funcție subliniară minimă.

Dacă este o funcție subliniară pe un spațiu vectorial real atunci există o funcțională liniară pe astfel încât ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ leq p.}$

În cazul în care este un spațiu vectorial real, este o funcțională liniară pe și este o funcție subliniară pozitiv , apoi pe dacă și numai dacă ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ în X: p (x) <1 \} = \ varnothing.}$

Continuitate

Teorema - Să presupunem că este o funcție subadditivă (adică pentru toți ). Atunci este continuu la origine dacă și numai dacă este uniform continuu pe Dacă satisface atunci este continuu dacă și numai dacă valoarea sa absolută este continuă. Dacă este non-negativ, atunci este continuu dacă și numai dacă este deschis în ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ în X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle | f |: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ {x \ în X: f (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle X.}$

Să presupunem că este un spațiu vector topologic (TVS) peste numerele reale sau complexe și că este o funcție subliniară pe Atunci următoarele sunt echivalente: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle p}$ este continuu;
${\ displaystyle p}$ este continuu la 0;
${\ displaystyle p}$ este continuu uniform pornit ; ${\ displaystyle X}$

și dacă este pozitiv, atunci putem adăuga la această listă: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ {x \ în X: p (x) <1 \}}$ este deschis în ${\ displaystyle X.}$

În cazul în care este o adevărată TVS, este o funcțională liniară pe și este o funcție subliniară continuă pe atunci pe implică faptul că este continuă. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Relația cu funcțiile Minkowski și seturile convexe deschise

Teorema - Dacă este o vecinătate deschisă convexă a originii într-un TVS, atunci funcționalitatea lui Minkowski este o funcție subliniară continuă non-negativă astfel încât ; dacă în plus este echilibrat atunci este o seminormă pe ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ to [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ left \ {x \ în X: p_ {U} (x) <1 \ right \}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p_ {U}}$ ${\ displaystyle X.}$

Relația cu seturile convexe deschise

Teorema - Să presupunem că este un TVS (nu neapărat convex local sau Hausdorff) peste numerele reale sau complexe. Apoi subseturile convexe deschise ale sunt exact acelea care sunt de formă pentru unele și unele funcții subliniare continue pozitive pe ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle z + \ {x \ în X: p (x) <1 \} = \ {x \ în X: p (xz) <1 \}}$ ${\ displaystyle z \ în X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

Dovadă

Fie un subset convex deschis al lui If apoi let și altfel să fie arbitrar. Să fie Minkowski funcțional de cazul în care este o funcție continuă pe subliniară , deoarece este convexă, absorbind și deschis ( cu toate acestea , nu este neapărat un seminormă , deoarece nu a fost considerată echilibrată). Din proprietățile funcționalităților Minkowski, se știe că din care urmează. Dar ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle 0 \ în V}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z \ în V}$ ${\ displaystyle p: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Vz = \ {x \ în X: p (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle V = z + \ {x \ în X: p (x) <1 \}}$

{\ displaystyle z + \ {x \ în X: p (x) <1 \} = \ {z + x: x \ în X, p (x) <1 \} = \ {z + x: x \ în X , p ((z + x) -z) <1 \} = \ {x \ în X: p (xz) <1 \},}

așa cum se dorește. ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Operatori

Conceptul poate fi extins la operatorii care sunt omogeni și subadditivi. Acest lucru necesită doar ca codomainul să fie, să zicem, un spațiu vectorial ordonat pentru a da sens condițiilor.

Definirea informaticii

În informatică , o funcție se numește subliniară dacă sau în notație asimptotică (observați micul ). În mod formal, dacă și numai dacă, pentru un anumit dat există un astfel încât pentru Adică crește mai lent decât orice funcție liniară. Cele două semnificații nu trebuie confundate: în timp ce o funcționalitate Banach este convexă , aproape opusul este valabil pentru funcțiile de creștere subliniară: fiecare funcție poate fi delimitată de o funcție concavă de creștere subliniară. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$ ${\ displaystyle o}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$ ${\ displaystyle c> 0,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f (n) <cn}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$

Vezi si

Normă asimetrică - Generalizarea conceptului de normă
Teorema Hahn-Banach
Funcțional liniar
Normă (matematică) - Lungimea într-un spațiu vectorial
Seminorm
Superaditivitate

Note

Referințe

Bibliografie

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Spații vectoriale topologice . Matematică pură și aplicată (ed. A doua). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Spații vectoriale topologice . GTM . 8 (ed. A doua). New York, NY: Springer New York Imprimare Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Spații vectoriale topologice, distribuții și nuclee . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Languages

In other projects