Sublineáris függvény - Sublinear function

A lineáris algebra , egy szublineáris funkció (vagy funkcionális , mint gyakrabban használják a funkcionális elemzés ), más néven kvázi-seminorm vagy Banach funkcionális , egy vektortér egy igazi -valued funkció csak néhány tulajdonságát egy seminorm . A szeminormokkal ellentétben a szublineáris függvénynek nem kell nemnegatív értékűnek lennie, és nem kell feltétlenül homogénnek lennie . A félformák maguk is a normák közismertebb fogalmának absztrakciói , ahol a szeminorm rendelkezik a norma minden meghatározó tulajdonságával, kivéve , hogy nem szükséges a nullától eltérő vektorokat nem nulla értékekre leképezni. ${\ displaystyle X}$

A funkcionális elemzésben a Banach -funkcionális nevet néha használják, ami azt jelzi, hogy leggyakrabban a Hahn -Banach -tétel általános megfogalmazásakor használják őket . A szublineáris függvény fogalmát Stefan Banach vezette be, amikor bebizonyította a Hahn-Banach-tétel változatát .

Az informatikában más , az alábbiakban ismertetett fogalom is létezik , amely szintén a "szublineáris függvény" elnevezéssel megy.

Definíciók

Hagy egy vektortér egy mezőt , ahol az akár a valós számok , illetve komplex számok A valós értékű függvény az nevezzük szublineáris függvény (vagy szublineáris funkcionális ha ), valamint néha egy kvázi seminorm vagy Banach funkcionális , ha ez a két tulajdonsága van: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

Pozitív homogenitás / Nemnegatív homogenitás :minden valósés bármilyen; és ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ in X}$
Szubadditivitás / Háromszög egyenlőtlenség :mindenki számára ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ az X -ben.}$ ${\ displaystyle x, y \ az X -ben.}$
- Ennek az aladditivitási feltételnek valós értékűnek kell lennie. ${\ displaystyle f}$

Egy szublineáris függvényt pozitívnak vagy nemnegatívnak neveznek, ha mindenre ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$

A készlet minden szublineáris funkcióját jelöli lehet részben rendezett nyilvánítja akkor, ha az összes A szublineáris funkciót nevezik minimális , ha egy minimális eleme az alapján ebben a sorrendben. Egy szublineáris függvény akkor és csak akkor minimális, ha valódi lineáris függvény . ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X^{\#},}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p (x) \ leq q (x)}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle X^{\#}}$

Példák és elegendő feltételek

Minden szeminorm és norma szublineáris függvény, és minden valódi lineáris függvény szublineáris függvény. Az ellenkezője általában nem igaz.

Ha és egy lineáris függvény egy valós vektortérben, akkor a térkép is az. Általánosságban elmondható, hogy ha van egy nem vékony szublineáris függvénygyűjtemény egy valós vektortéren, és ha minden akkor egy szublineáris függvény ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ az X -ben,}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ in {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X.}$

A lineáris funkcionális on egy szublineáris funkcionális, amely nem pozitív, és nem seminorm. ${\ displaystyle x \ mapsto -x}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$

Tulajdonságok

Minden szublineáris függvény konvex függvény .

Ha a valós értékű szublineáris függvény be van kapcsolva, akkor: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p (0) = 0.}$
${\ displaystyle 0 \ leq p (x)+p (-x)}$ minden ${\ displaystyle x \ in X.}$
${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ mindenkinek ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$
- A térkép által meghatározott szeminorm on ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X.}$
- Ez különösen azt jelenti, hogy legalább egy és nem negatív. ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (-x)}$
${\ displaystyle p (x) -p (y) \ leq p (xy)}$ mindenkinek ${\ displaystyle x, y \ az X -ben.}$

Kapcsolódó szeminorm

Ha egy valós értékű szublineáris funkciót , akkor a térképen meghatároz egy seminorm az úgynevezett seminorm kapcsolatos ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p.}$

Kapcsolat a lineáris függvényekkel

Ha egy szublineáris függvény egy valós vektor térben, akkor a következők egyenértékűek: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p}$ egy lineáris funkcionális ;
mindenért ; ${\ displaystyle x \ az X -ben,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) \ leq 0}$
mindenért ; ${\ displaystyle x \ az X -ben,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) = 0}$
${\ displaystyle p}$ egy minimális szublineáris függvény.

Ha egy szublineáris függvény valós vektortér akkor létezik egy lineáris funkcionális on úgy, hogy ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ leq p.}$

Ha egy igazi vektortér, egy lineáris működőképes és egy pozitív szublineáris funkciót , majd az akkor és csak akkor, ha ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f^{-1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) <1 \} = \ varnothing.}$

Folytonosság

Tétel - Tegyük fel , hogy egy al -additív függvény (azaz mindenkire ). Ekkor folytonos a forrásnál, ha és csak akkor, ha egyenletesen folytonos az If kielégít, akkor akkor és csak akkor folyamatos, ha abszolút értéke folytonos. Ha nem negatív, akkor csak akkor folyamatos, ha nyitva van ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle | f |: X \ - [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ {x \ in X: f (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle X.}$

Tegyük fel , hogy egy topológiai vektortér (TVS) a valós vagy összetett számok fölött, és egy szublineáris függvény bekapcsolva. Akkor a következők egyenértékűek: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle p}$ folyamatos;
${\ displaystyle p}$ 0 -nál folyamatos;
${\ displaystyle p}$ egyenletesen folyamatos ; ${\ displaystyle X}$

és ha pozitív, akkor kiegészíthetjük ezt a listát: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$ nyitva van benne ${\ displaystyle X.}$

Ha egy igazi TVS, lineáris működőképes és egy folytonos függvény szublineáris majd az azt jelenti, hogy folyamatos. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Kapcsolat a Minkowski függvényekkel és a nyitott domború halmazokkal

Tétel - Ha egy konvex nyitott szomszédságában a származási egy TVS akkor a Minkowski funkcionális a folytonos, nem-negatív szublineáris funkciót úgy, hogy ; ha túl van egyensúlyban , akkor egy seminorm on ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ - [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ left \ {x \ in X: p_ {U} (x) <1 \ right \}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p_ {U}}$ ${\ displaystyle X.}$

Kapcsolat a nyitott domború halmazokkal

Tétel - Tegyük fel, hogy ez egy TVS (nem feltétlenül lokálisan domború vagy Hausdorff) a valós vagy összetett számok felett. Ezután a nyílt, konvex részhalmazai pontosan azok, amelyek a formában néhány , és néhány pozitív folyamatos szublineáris funkciót a ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle z+\ {x \ in X: p (x) <1 \} = \ {x \ in X: p (xz) <1 \}}$ ${\ displaystyle z \ az X -ben}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

Bizonyíték

Hagyja, hogy az If nyílt, konvex részhalmaza legyen, akkor hagyja, és egyébként hagyja, hogy tetszőleges legyen. Legyen az a Minkowski -függvény , ahol egy folytonos szublineáris függvény van, mivel domború, elnyelő és nyitott ( azonban nem feltétlenül szeminorm, mivel nem feltételezték, hogy kiegyensúlyozott). A Minkowski -funkcionálok tulajdonságaiból ismert, hogy ebből következik. De ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle 0 \ in V}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z \ in V}$ ${\ displaystyle p: X \ - [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Vz = \ {x \ in X: p (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle V = z+\ {x \ in X: p (x) <1 \}}$

{\ displaystyle z+\ {x \ in X: p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ in X, p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ in X , p ((z+x) -z) <1 \} = \ {x \ az X-ben: p (xz) <1 \},}

a kívántaknak megfelelően. ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Üzemeltetők

A koncepció kiterjeszthető a homogén és aladditív operátorokra is. Ehhez csak az szükséges, hogy a kóddomain mondjuk rendezett vektortér legyen a feltételek értelmezéséhez.

Számítástechnikai definíció

A számítástechnika , a funkció az úgynevezett szublineáris ha vagy a aszimptotikus jelölés (megjegyzem, a kis ). Formálisan, csak akkor és csak akkor, ha bármelyikre létezik olyan , amely az Vagyis lassabban növekszik, mint bármely lineáris függvény. A két jelentést nem szabad összetéveszteni: míg egy Banach-függvény konvex , szinte az ellenkezője igaz a szublineáris növekedés funkcióira: minden függvény felső határa lehet a szublineáris növekedés konkáv függvényének . ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^{+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$ ${\ displaystyle o}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$ ${\ displaystyle c> 0,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f (n) <cn}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (n) \ in o (n)}$

Lásd még

Aszimmetrikus norma - A norma fogalmának általánosítása
Hahn-Banach-tétel
Lineáris funkcionális
Norm (matematika) - Hossz a vektor térben
Seminorm
Túlérzékenység

Megjegyzések

Hivatkozások

Bibliográfia

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topológiai vektoros terek . Tiszta és alkalmazott matematika (Második szerk.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topológiai vektoros terek . GTM . 8 (Második kiadás). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topológiai vektoros terek, eloszlások és kernelek . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Languages

In other projects