Sublinær funktion - Sublinear function

I lineær algebra er en sublinær funktion (eller funktionel som det oftere bruges i funktionel analyse ), også kaldet en kvasi -seminorm eller en Banach -funktionel , på et vektorrum en reel -værdsat funktion med kun nogle af egenskaberne for en seminorm . I modsætning til seminormer behøver en sublinear funktion ikke at være ikke -negativ -værdsat og behøver heller ikke at være absolut homogen . Seminorms selv abstraktioner af de mere kendte begreb normer , hvor en seminorm har mange definerer egenskaber af en norm undtagen at den ikke er forpligtet til kort ikke-nul vektorer til ikke-nul-værdier. ${\ displaystyle X}$

I funktionel analyse bruges undertiden navnet Banach functional , hvilket afspejler, at de er mest almindeligt anvendt ved anvendelse af en generel formulering af Hahn - Banach -sætningen . Forestillingen om en sublinær funktion blev introduceret af Stefan Banach, da han beviste sin version af Hahn-Banach-sætningen .

Der er også en anden opfattelse inden for datalogi , beskrevet nedenfor, der også går under navnet "sublinear funktion".

Definitioner

Lade være et vektorrum over et felt , hvor enten de reelle tal eller komplekse tal En reel funktion på kaldes en sublinear funktion (eller en sublinear funktionelt hvis ), og også nogle gange kaldet en kvasi-seminorm eller en Banach funktionel , hvis den har disse to egenskaber: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle f: X \ til \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

Positiv homogenitet / Ikke -negativ homogenitet :for enhver reelog enhver; og ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ i X}$
Subadditivity / Triangle ulighed :for alle ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ i X.}$ ${\ displaystyle x, y \ i X.}$
- Denne betingelse for subadditivitet skal virkelig værdiansættes. ${\ displaystyle f}$

En sublinær funktion kaldes positiv eller ikke -negativ hvis for alle ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$

Sættet med alle sublinære funktioner på betegnet med kan delvist bestilles ved at erklære, om og kun hvis for alle En underlinjefunktion kaldes minimal, hvis det er et minimalt element af under denne rækkefølge. En sublinær funktion er minimal, hvis og kun hvis det er en reel lineær funktion . ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X^{\#},}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p (x) \ leq q (x)}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$ ${\ displaystyle X^{\#}}$

Eksempler og tilstrækkelige betingelser

Hver seminorm og norm er en sublinær funktion, og hver reel lineær funktion er en sublinær funktion. Samtalerne er generelt ikke sande.

Hvis og er sublinære funktioner på et reelt vektorrum, så er kortet mere generelt, hvis er en ikke-tom samling af sublinære funktionaler på et reelt vektorrum, og hvis for alle så er en sublinær funktionel på ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ i {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X.}$

Den lineære funktionelle på er en sublinær funktionel, der ikke er positiv og ikke er en seminorm. ${\ displaystyle x \ mapsto -x}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$

Ejendomme

Hver sublinære funktion er en konveks funktion .

Hvis er en reelt værdsat sublinear funktion til : ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p (0) = 0.}$
${\ displaystyle 0 \ leq p (x)+p (-x)}$ for hver ${\ displaystyle x \ i X.}$
${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ for alle ${\ displaystyle x \ i X.}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$
- Kortet defineret af er en seminorm på ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X.}$
- Dette indebærer især, at mindst en af og er ikke-negativ. ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (-x)}$
${\ displaystyle p (x) -p (y) \ leq p (xy)}$ for alle ${\ displaystyle x, y \ i X.}$

Tilhørende seminorm

Hvis er en reelt værdsat sublinear funktion på, så definerer kortet en seminorm på kaldet seminorm forbundet med ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s.}$

Forhold til lineære funktioner

Hvis er en sublinær funktion på et reelt vektorrum, er følgende ækvivalente: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p}$ er en lineær funktionel ;
for hver ; ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) \ leq 0}$
for hver ; ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) = 0}$
${\ displaystyle p}$ er en minimal sublinær funktion.

Hvis der er en sublinær funktion på et reelt vektorrum, eksisterer der en lineær funktion på sådan ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ leq s.}$

Hvis er et reelt vektorrum, er en lineær funktionel på og er en positiv sublinear funktion på derefter på hvis og kun hvis ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f^{-1} (1) \ cap \ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ varnothing.}$

Kontinuitet

Sætning - Antag er en subadditiv funktion (det vil sige for alle ). Derefter er kontinuert på oprindelsen hvis og kun hvis er ensartet kontinuerlig on Hvis tilfredsstiller derefter er kontinuert hvis og kun hvis dens absolutte værdi er kontinuerlig. Hvis er ikke-negativ, er den kontinuerlig, hvis og kun hvis den er åben i ${\ displaystyle f: X \ til \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ i X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle | f |: X \ til [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ {x \ i X: f (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle X.}$

Antag, at det er et topologisk vektorrum (TVS) over de reelle eller komplekse tal og er en sublinear funktion på Så er følgende ækvivalente: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle p}$ er kontinuerlig;
${\ displaystyle p}$ er kontinuerlig ved 0;
${\ displaystyle p}$ er ensartet kontinuerlig på ; ${\ displaystyle X}$

og hvis det er positivt, kan vi tilføje denne liste: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ {x \ i X: p (x) <1 \}}$ er åben i ${\ displaystyle X.}$

Hvis er en reel TVS, er en lineær funktionel på og er en kontinuerlig sublinear funktion på derefter på indebærer, at er kontinuert. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Forhold til Minkowski -funktioner og åbne konvekse sæt

Sætning - Hvis er en konveks åben kvarter oprindelse i en TVS derefter Minkowski funktionelle af en kontinuert ikke-negative sublinear funktion , således at ; hvis derudover er afbalanceret, så er en seminorm på ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ til [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ venstre \ {x \ i X: p_ {U} (x) <1 \ højre \}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p_ {U}}$ ${\ displaystyle X.}$

Forhold til åbne konvekse sæt

Sætning - Antag, at det er et TVS (ikke nødvendigvis lokalt konveks eller Hausdorff) over de reelle eller komplekse tal. Så er de åbne konvekse undersæt af præcis dem, der har formen for nogle og nogle positive kontinuerlige sublinære funktioner på ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle z+\ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ {x \ i X: p (xz) <1 \}}$ ${\ displaystyle z \ i X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

Bevis

Lad være en åben konveks delmængde af Hvis så lad og på anden måde lade være vilkårlig. Lade være Minkowski funktionelle af hvor er en kontinuerlig sublinear funktion på siden er konveks, absorberende, og åbne ( dog ikke nødvendigvis en seminorm da ikke blev antaget at være afbalanceret). Fra egenskaberne af Minkowski -funktionaliteter vides det, hvoraf følger. Men ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle 0 \ i V}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z \ i V}$ ${\ displaystyle p: X \ til [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Vz = \ {x \ i X: p (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle V = z+\ {x \ i X: p (x) <1 \}}$

{\ displaystyle z+\ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ i X, p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ i X , p ((z+x) -z) <1 \} = \ {x \ i X: p (xz) <1 \},}

som ønsket. ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Operatører

Konceptet kan udvides til operatører, der er homogene og underadditive. Dette kræver kun, at kodomenet f.eks. Er et ordnet vektorrum for at give mening om betingelserne.

Datalogi definition

I datalogi kaldes en funktion sublinear hvis eller i asymptotisk notation (bemærk den lille ). Formelt, hvis og kun hvis der for et givet tilfælde eksisterer en sådan, at for Det vil sige, vokser langsommere end nogen lineær funktion. De to betydninger bør ikke forveksles: mens en Banach-funktion er konveks , er næsten det modsatte tilfældet for funktioner ved sublinær vækst: hver funktion kan være øvre afgrænset af en konkav funktion af sublinear vækst. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^{+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$ ${\ displaystyle o}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$ ${\ displaystyle c> 0,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f (n) <cn}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$

Se også

Asymmetrisk norm - Generalisering af begrebet norm
Hahn-Banach sætning
Lineær funktionel
Norm (matematik) - Længde i et vektorrum
Seminorm
Superadditivitet

Noter

Referencer

Bibliografi

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiske vektorrum . Ren og anvendt matematik (Anden udgave). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiske vektorrum . GTM . 8 (Anden udgave). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiske vektorrum, distributioner og kerner . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Languages

In other projects