Sublinsk funksjon - Sublinear function

I lineær algebra er en sublinær funksjon (eller funksjonell som det oftere brukes i funksjonell analyse ), også kalt en kvasi -seminorm eller en Banach -funksjonell , på et vektorrom en virkelig verdifull funksjon med bare noen av egenskapene til en seminorm . I motsetning til seminormer trenger en sublinær funksjon ikke å være ikke -negativ -verdsatt og trenger heller ikke å være absolutt homogen . Seminorms er selv abstractions av de mer kjente begrep om normer , hvor en seminorm har alle de definerende egenskaper for en norm , bortsett fra at det ikke er nødvendig for å kartlegge ikke-null-vektorer til ikke-null-verdier. ${\ displaystyle X}$

I funksjonell analyse brukes noen ganger navnet Banach functional , noe som gjenspeiler at de er mest vanlig når man bruker en generell formulering av Hahn - Banach -setningen . Ideen om en sublinær funksjon ble introdusert av Stefan Banach da han beviste sin versjon av Hahn-Banach-setningen .

Det er også en annen oppfatning innen informatikk , beskrevet nedenfor, som også går under navnet "sublinær funksjon."

Definisjoner

La være et vektorrom over et felt hvor enten de reelle tall eller komplekse tall A real-valued funksjon på , kalles en sublinear funksjon (eller en sublinear funksjonell om ), og også noen ganger kalt en kvasi-seminorm eller en Banachs funksjonell , hvis den har disse to egenskapene: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

Positiv homogenitet / ikke -negativ homogenitet :for enhver ekteog hvilken som helst; og ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ i X}$
Subadditivity / Triangle ulikhet :for alle ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ i X.}$ ${\ displaystyle x, y \ i X.}$
- Denne betingelsen for subadditivitet må være virkelig verdsatt. ${\ displaystyle f}$

En sublinær funksjon kalles positiv eller ikke -negativ hvis for alle ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$

Settet av alle sublinære funksjoner på betegnet med kan delvis ordnes ved å erklære om og bare hvis for alle En sublinjær funksjon kalles minimal hvis det er et minimalt element av under denne rekkefølgen. En sublinær funksjon er minimal hvis og bare hvis den er en ekte lineær funksjon . ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X^{\#},}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p (x) \ leq q (x)}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$ ${\ displaystyle X^{\#}}$

Eksempler og tilstrekkelige betingelser

Hver seminorm og norm er en sublinær funksjon, og hver ekte lineær funksjon er en sublinær funksjon. Samtalene er ikke sanne generelt.

Hvis og er sublinear funksjoner på en reell vektorrom da så er kartet Mer generelt, om er en hvilken som helst ikke-tom samling av sublinear functionals på en reell vektorrom og hvis for alt da er et sublinear funksjonell videre ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ i {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle X.}$

Den lineære funksjonelle på er en sublinær funksjonell som ikke er positiv og ikke er en seminorm. ${\ displaystyle x \ mapsto -x}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$

Eiendommer

Hver sublinære funksjon er en konveks funksjon .

Hvis er en virkelig verdsatt sublinær funksjon på da: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p (0) = 0.}$
${\ displaystyle 0 \ leq p (x)+p (-x)}$ for hver ${\ displaystyle x \ i X.}$
${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ for alle ${\ displaystyle x \ i X.}$ ${\ displaystyle x \ i X.}$
- Kartet definert av er en seminorm på ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X.}$
- Dette innebærer spesielt at minst en av og er ikke-negativ. ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (-x)}$
${\ displaystyle p (x) -p (y) \ leq p (xy)}$ for alle ${\ displaystyle x, y \ i X.}$

Tilhørende seminorm

Hvis er en virkelig verdsatt sublinær funksjon på, definerer kartet en seminorm som kalles seminorm assosiert med ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle q (x): = \ max \ {p (x), p (-x) \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s.}$

Forhold til lineære funksjoner

Hvis er en sublinær funksjon på et ekte vektorrom, er følgende ekvivalente: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle p}$ er en lineær funksjonell ;
for hver ; ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) \ leq 0}$
for hver ; ${\ displaystyle x \ i X,}$ ${\ displaystyle p (x)+p (-x) = 0}$
${\ displaystyle p}$ er en minimal sublinær funksjon.

Dersom er en sublinear funksjon på en reell vektorrom så eksisterer en lineær funksjonell på slik at ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ leq s.}$

Hvis er et ekte vektorrom, er en lineær funksjonell på og er en positiv sublinær funksjon på deretter på hvis og bare hvis ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f^{-1} (1) \ cap \ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ varnothing.}$

Kontinuitet

Teorem - Anta at det er en subadditiv funksjon (det vil si for alle ). Da er kontinuerlig ved opprinnelsen hvis og bare hvis den er jevnt kontinuerlig på Hvis tilfredsstiller , er den kontinuerlig hvis og bare hvis dens absolutte verdi er kontinuerlig. Hvis er ikke-negativ, er den kontinuerlig hvis og bare hvis den er åpen i ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x+y) \ leq f (x)+f (y)}$ ${\ displaystyle x, y \ i X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle | f |: X \ til [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ {x \ i X: f (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle X.}$

Anta at det er et topologisk vektorrom (TVS) over de virkelige eller komplekse tallene og er en sublinær funksjon på Da er følgende ekvivalente: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

${\ displaystyle p}$ er kontinuerlig;
${\ displaystyle p}$ er kontinuerlig ved 0;
${\ displaystyle p}$ er jevnt kontinuerlig på ; ${\ displaystyle X}$

og hvis det er positivt, kan vi legge til denne listen: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ {x \ i X: p (x) <1 \}}$ er åpen i ${\ displaystyle X.}$

Dersom er en ekte TVS, er en lineær funksjon på og er en kontinuerlig funksjon sublinear på så videre innebærer at er kontinuerlig. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Forholdet til Minkowski -funksjoner og åpne konvekse sett

Teorem - Hvis er et konvekst åpent nabolag av opprinnelsen i en TVS , er Minkowski-funksjonen til en kontinuerlig ikke-negativ sublinær funksjon på slik at ; hvis i tillegg er balansert så er en seminorm på ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ til [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ venstre \ {x \ i X: p_ {U} (x) <1 \ høyre \}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p_ {U}}$ ${\ displaystyle X.}$

Forhold til åpne konvekse sett

Teorem - Anta at det er en TVS (ikke nødvendigvis lokalt konveks eller Hausdorff) over de reelle eller komplekse tallene. Da er de åpne konvekse undersettene av akkurat de som har formen for noen og noen positive kontinuerlige sublinære funksjoner på ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle z+\ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ {x \ i X: p (xz) <1 \}}$ ${\ displaystyle z \ i X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X.}$

Bevis

La være en åpen konveks delmengde av If så la og ellers la være vilkårlig. La oss være Minkowski -funksjonen for hvor er en kontinuerlig sublinær funksjon på siden den er konveks, absorberende og åpen (er imidlertid ikke nødvendigvis en seminorm siden det ikke ble antatt å være balansert). Fra egenskapene til Minkowski -funksjonaliteter er det kjent at det følger av. Men ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle 0 \ i V}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z \ i V}$ ${\ displaystyle p: X \ til [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Vz = \ {x \ i X: p (x) <1 \}}$ ${\ displaystyle V = z+\ {x \ i X: p (x) <1 \}}$

{\ displaystyle z+\ {x \ i X: p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ i X, p (x) <1 \} = \ {z+x: x \ i X , p ((z+x) -z) <1 \} = \ {x \ i X: p (xz) <1 \},}

som ønsket. ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Operatører

Konseptet kan utvides til operatører som er homogene og subadditive. Dette krever bare at kodomenet , for eksempel, er et ordnet vektorrom for å forstå situasjonene.

Datavitenskap definisjon

I informatikk kalles en funksjon sublinær hvis eller i asymptotisk notasjon (legg merke til den lille ). Formelt, hvis og bare hvis det for en gitt eksistens eksisterer en slik at for Det vil si, vokser saktere enn noen lineær funksjon. De to betydningene bør ikke forveksles: mens en Banach-funksjonalitet er konveks , er nesten det motsatte sant for funksjoner med sublinær vekst: hver funksjon kan være øvre avgrenset av en konkav funksjon av sublinær vekst. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^{+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$ ${\ displaystyle o}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$ ${\ displaystyle c> 0,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f (n) <cn}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (n) \ i o (n)}$

Se også

Asymmetrisk norm - Generalisering av begrepet norm
Hahn-Banach teorem
Lineær funksjonell
Norm (matematikk) - Lengde i et vektorrom
Seminorm
Superadditivitet

Merknader

Referanser

Bibliografi

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiske vektorrom . Ren og anvendt matematikk (andre utg.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiske vektorrom . GTM . 8 (andre utg.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiske vektorrom, distribusjoner og kjerner . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Languages

In other projects