Sublineare Funktion - Sublinear function

In der linearen Algebra , eine sublinear Funktion (oder Funktions wie häufiger in verwendeten funktioneller Analyse ), die auch eine angerufene quasi-Halbnorm oder ein Banachschen funktionelle , auf einem Vektorraum ist eine echte -wertige Funktion mit nur einem Teil der Eigenschaften einer Halbnorm . Im Gegensatz zu Halbnormen, ist eine sublinear Funktion muss nicht sein nichtnegativ -wertigen und auch nicht sein muss absolut homogen . Seminormen sind selbst Abstraktionen des bekannteren Begriffs von Normen , wobei eine Seminorm alle definierenden Eigenschaften einer Norm hat, außer dass es nicht erforderlich ist, Nicht-Null-Vektoren auf Nicht-Null-Werte abzubilden. ${\displaystyle X}$

In Funktionsanalyse der Name funktionelle Banachschen wird manchmal verwendet, reflektiert , dass sie werden am häufigsten verwendet , wenn eine allgemeine Formulierung der Anwendung Hahn-Banach Theorems . Der Begriff einer sublinearen Funktion wurde von Stefan Banach eingeführt, als er seine Version des Hahn-Banach-Theorems bewies .

Es gibt auch einen anderen Begriff in der Informatik , der unten beschrieben wird und auch unter dem Namen "sublineare Funktion" bekannt ist.

Definitionen

Let a seinen Vektorraum über ein Feld , wo entweder die reellen Zahlen oder komplexe Zahlen eine reellwertige Funktion auf einer aufgerufen wird Sublineare Funktion (oder ein sublinear funktionelle wenn ) und manchmal auch genannt quasi-Halbnorm oder ein Banachschen funktionelle , wenn Es hat diese beiden Eigenschaften: ${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{K},}$${\displaystyle\mathbb{K}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{K} =\mathbb{R}}$

1. Positive Homogenität / Nichtnegative Homogenität :für alle reellenund beliebigen; und${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle x\in X}$
2. Subadditivität / Dreiecksungleichung :für alle${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Diese Subadditivitätsbedingung muss reellwertig sein.${\displaystyle f}$

Eine sublinear Funktion heißt positiv oder nicht - negative , wenn für alle${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

Die Menge aller sublinearen Funktionen on bezeichnet durch kann partiell geordnet werden, indem genau dann deklariert wird, ob für alle Eine sublineare Funktion heißt minimal, wenn sie ein minimales Element von unter dieser Ordnung ist. Eine sublineare Funktion ist genau dann minimal, wenn sie ein reelles lineares Funktional ist . ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\#},}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X^{\#}}$

Beispiele und hinreichende Bedingungen

Jede Seminorm und Norm ist eine sublineare Funktion und jedes reelle lineare Funktional ist eine sublineare Funktion. Die Umkehrungen sind im Allgemeinen nicht richtig.

Wenn und sublinear Funktionen auf einem reellen Vektorraum sind dann so die Karte Allgemeiner gesagt , wenn irgendeine nicht leere Sammlung von sublinear Funktionalen auf einem reellen Vektorraum , und wenn für alle dann ist ein sublinear Funktional${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto\max\{p(x),q(x)\}.}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal{P}}\},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$

Das lineare Funktional on ist ein sublineares Funktional, das nicht positiv und keine Seminorm ist. ${\displaystyle x\mapsto -x}$${\displaystyle X=\mathbb{R}}$

Eigenschaften

Jede sublineare Funktion ist ein konvexes Funktional .

Wenn eine reellwertige sublineare Funktion ist, dann gilt: ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p(0)=0.}$
• ${\displaystyle 0\leq p(x)+p(-x)}$ für jeden ${\displaystyle x\in X.}$
• ${\displaystyle 0\leq\max\{p(x),p(-x)\}}$ für alle ${\displaystyle x\in X.}$
  • Die durch definierte Abbildung ist eine Seminorm auf${\displaystyle q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X.}$
  • Dies impliziert insbesondere, dass mindestens eines von und nicht negativ ist.${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(-x)}$
• ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(xy)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in X.}$

Zugehörige Seminorm

Wenn eine reellwertige sublineare Funktion on ist, dann definiert die Abbildung eine Seminorm on , die als Seminorm bezeichnet wird, die mit verbunden ist${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$

Beziehung zu linearen Funktionen

Wenn es sich um eine sublineare Funktion auf einem reellen Vektorraum handelt, dann sind die folgenden äquivalent: ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$ist ein lineares Funktional ;
2. für jeden ;${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0}$
3. für jeden ;${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0}$
4. ${\displaystyle p}$ ist eine minimale sublineare Funktion.

Ist eine sublineare Funktion auf einem reellen Vektorraum, dann existiert ein lineares Funktional auf so dass${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$

Wenn ein reeller Vektorraum ist, ist ein lineares Funktional auf und ist eine positive sublinear Funktion dann auf , wenn und nur wenn${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Kontinuität

Angenommen ist ein topologischer Vektorraum (TVS) über den reellen oder komplexen Zahlen und ist eine sublineare Funktion auf Dann sind äquivalent: ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$ ist kontinuierlich;
2. ${\displaystyle p}$ ist bei 0 stetig;
3. ${\displaystyle p}$ist gleichmäßig kontinuierlich auf ;${\displaystyle X}$

und wenn positiv, dann können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ist geöffnet in ${\displaystyle X.}$

Wenn ein reelles TVS ist, ein lineares Funktional ist und eine stetige sublineare Funktion ist, dann impliziert on , dass es stetig ist. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Beziehung zu Minkowski-Funktionen und offenen konvexen Mengen

Beziehung zu offenen konvexen Mengen

Betreiber

Das Konzept kann auf homogene und subadditive Operatoren erweitert werden. Dies erfordert nur, dass die Kodomäne beispielsweise ein geordneter Vektorraum ist , um die Bedingungen zu verstehen.

Informatik-Definition

In der Informatik wird eine Funktion als sublineares if oder in asymptotischer Notation (beachte das kleine ) bezeichnet. Formal genau dann, wenn für jedes Gegebene ein solches existiert , das für D. h. langsamer wächst als jede lineare Funktion. Die beiden Bedeutungen sollten nicht verwechselt werden: Während ein Banach-Funktional konvex ist, gilt für Funktionen des sublinearen Wachstums fast das Gegenteil: Jede Funktion kann durch eine konkave Funktion des sublinearen Wachstums nach oben begrenzt werden . ${\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{R}}$${\displaystyle \lim_{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle o}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(n)<cn}$${\displaystyle n\geq N.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

Siehe auch

• Asymmetrische Norm  – Verallgemeinerung des Normbegriffs
• Satz von Hahn-Banach
• Lineare Funktion
• Norm (Mathematik)  – Länge in einem Vektorraum
• Seminorm
• Superadditivität

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schäfer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .