Funzione sublineare - Sublinear function

In algebra lineare , una funzione sublineare (o funzionale come è più spesso usata nell'analisi funzionale ), chiamata anche quasi seminorma o funzionale di Banach , su uno spazio vettoriale è una funzione a valori reali con solo alcune delle proprietà di una seminorma . A differenza delle seminorme, una funzione sublineare non deve essere valutata in modo non negativo e inoltre non deve essere assolutamente omogenea . Le seminorme sono esse stesse astrazioni della nozione più nota di norme , in cui una seminorma ha tutte le proprietà che definiscono una norma tranne che non è necessario mappare vettori diversi da zero a valori diversi da zero. ${\displaystyle X}$

In analisi funzionale il nome Banach funzionale viene talvolta utilizzato, riflettendo che essi sono più comunemente utilizzati quando si applica una formulazione generale del teorema di Hahn-Banach . La nozione di funzione sublineare è stata introdotta da Stefan Banach quando ha dimostrato la sua versione del teorema di Hahn-Banach .

C'è anche una diversa nozione in informatica , descritta di seguito, che va anche sotto il nome di "funzione sublineare".

Definizioni

Sia uno spazio vettoriale su un campo dove sono i numeri reali o i numeri complessi Una funzione a valori reali su è chiamata funzione sublineare (o funzionale sublineare se ), e talvolta anche chiamata quasi-seminorm o funzionale di Banach , se ha queste due proprietà: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R}}$

1. Omogeneità positiva / Omogeneità non negativa :per qualsiasi realee qualsiasi; e${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle x\in X}$
2. Subadditività / Disuguaglianza triangolare :per tutti${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Questa condizione di subadditività deve essere valutata in modo reale.${\displaystyle f}$

Una funzione sublineare si dice positiva o non negativa se per tutti${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

L'insieme di tutte le funzioni sublineari su indicato con può essere parzialmente ordinato dichiarando se e solo se for all Una funzione sublineare è detta minimale se è un elemento minimale di sotto questo ordine. Una funzione sublineare è minima se e solo se è un funzionale lineare reale . ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\#},}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X^{\#}}$

Esempi e condizioni sufficienti

Ogni seminorma e norma è una funzione sublineare e ogni funzionale lineare reale è una funzione sublineare. I contrari non sono vere in generale.

Se e sono funzioni sublineari su uno spazio vettoriale reale, allora lo è anche la mappa Più in generale, se è una raccolta non vuota di funzionali sublineari su uno spazio vettoriale reale e se for all allora è un funzionale sublineare su${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$

Il funzionale lineare su è un funzionale sublineare che non è positivo e non è una seminorma. ${\displaystyle x\mapsto -x}$${\displaystyle X=\mathbb {R}}$

Proprietà

Ogni funzione sublineare è un funzionale convesso .

Se è una funzione sublineare a valori reali su allora: ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p(0)=0.}$
• ${\displaystyle 0\leq p(x)+p(-x)}$ per ogni ${\displaystyle x\in X.}$
• ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ per tutti ${\displaystyle x\in X.}$
  • La mappa definita da è una seminorma su${\displaystyle q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X.}$
  • Ciò implica, in particolare, che almeno uno di e sia non negativo.${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(-x)}$
• ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(xy)}$ per tutti ${\displaystyle x,y\in X.}$

Seminorma associata

Se è una funzione sublineare a valori reali su allora la mappa definisce una seminorma su chiamata seminorma associata a${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$

Relazione con le funzioni lineari

Se è una funzione sublineare su uno spazio vettoriale reale, le seguenti sono equivalenti: ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$è un funzionale lineare ;
2. per ogni ;${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0}$
3. per ogni ;${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0}$
4. ${\displaystyle p}$ è una funzione sublineare minima.

Se è una funzione sublineare su uno spazio vettoriale reale allora esiste un funzionale lineare su tale che${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$

Se è uno spazio vettoriale reale, è un funzionale lineare su ed è una funzione sublineare positiva su allora su se e solo se${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Continuità

Supponiamo che sia uno spazio vettoriale topologico (TVS) sui numeri reali o complessi ed è una funzione sublineare su Allora i seguenti sono equivalenti: ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$ è continuo;
2. ${\displaystyle p}$ è continuo a 0;
3. ${\displaystyle p}$è uniformemente continua su ;${\displaystyle X}$

e se è positivo allora possiamo aggiungere a questa lista: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ è aperto in ${\displaystyle X.}$

Se è un TVS reale, è un funzionale lineare su ed è una funzione sublineare continua su allora su implica che è continuo. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Relazione con le funzioni di Minkowski e gli insiemi convessi aperti

Relazione con gli insiemi convessi aperti

operatori

Il concetto può essere esteso ad operatori omogenei e subadditivi. Ciò richiede solo che il codominio sia, diciamo, uno spazio vettoriale ordinato per dare un senso alle condizioni.

Definizione di informatica

In informatica , una funzione è detta sublineare se o in notazione asintotica (notare il piccolo ). Formalmente, se e solo se, per ogni dato esiste un tale che per Cioè cresce più lentamente di qualsiasi funzione lineare. I due significati non vanno confusi: mentre un funzionale di Banach è convesso , è vero quasi il contrario per le funzioni di crescita sublineare: ogni funzione può essere delimitata in alto da una funzione concava di crescita sublineare. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(n)<cn}$${\displaystyle n\geq N.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

Guarda anche

• Norma asimmetrica  – Generalizzazione del concetto di norma
• Teorema di Hahn-Banach
• Funzionale lineare
• Norma (matematica)  – Lunghezza in uno spazio vettoriale
• seminorma
• Superadditività

Appunti

Riferimenti

Bibliografia

• Narici, Lorenzo ; Beckenstein, Edward (2011). Spazi vettoriali topologici . Matematica pura e applicata (Seconda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Spazi vettoriali topologici . GTM . 8 (Seconda ed.). New York, NY: Springer New York Impronta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Spazi vettoriali topologici, distribuzioni e kernel . Mineola, NY: Pubblicazioni di Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .