Ters görüntü funktoru - Inverse image functor

In matematik , ters görüntü funktoru bir olan kovaryant inşaat kasnaklar . Doğrudan resim funktoru basit bir tanımlama, makaraların birincil bir işlemdir. Ters görüntü bazı nispeten ince özelliklerini sergiler.

Makaralarında Görüntü funktorlar
doğrudan resim f *
ters görüntü f *
Kompakt destek ile doğrudan resim f !
istisnai ters görüntü Rf !
${\ Displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ Displaystyle (R) r _ {!} \ Leftrightarrows (R) r ^ {!}}$
Taban değişim teoremleri
v t e

Tanım

Biz bir demet verilmiştir varsayalım üzerinde ve biz taşımak istediğiniz için bir kullanarak sürekli harita . ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle X}$ ${Y \ displaystyle f \ kolon X \}$

Biz bir sonuç arayacak ters görüntü veya geri çekme demet . Biz taklit etmeye çalışırsanız direkt görüntüyü ayarlayarak ${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

her açık kümesi için bir , derhal bir sorun çıkıyor: ille açık değildir. Yapabileceğimiz en iyi açık kümeler bunu tahmin etmek ve hatta o zaman alacak presheaf ve bir demet. Sonuç olarak, tanımlar olmak presheaf ilişkili demet : ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V)}.$

(Burada açık bir alt kümesidir ve colimit tüm açık alt kümeleri üzerinde çalışan bir içeren .) ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f (U)}$

Örneğin, eğer bir noktanın hemen dahil olduğu bir sonra adildir sap arasında bu noktada. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f ^ {1 -} ({\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Kısıtlama haritaları yanı sıra functoriality ters görüntünün izler evrensel özelliğinin ait direkt sınırlar .

İle uğraşırken Morfizm arasında lokal olarak halkalı boşluklar , örneğin için düzenleri de cebirsel geometri , sık sık ile çalışır ve kasnakların -modüller , yapısı demetidir . Sonra funktor genel olarak bile tomarlar vermez, çünkü uygunsuz -modüller. Bu sorunu çözmek için, biri bir demet için bu durumda tanımlar -modüller onun ters görselle ${Y \ displaystyle f \ kolon X \}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: f = ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Özellikleri

• İken daha tanımlamak daha karmaşıktır , sapları hesaplamak kolaydır: Bir noktayı verilen , birine sahiptir .${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$${\ Displaystyle x \ X}$${\ Displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) = {x} \ Cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$ Sapların Yukarıdaki hesap ile görülebileceği gibi tam funktoru vardır.
• ${\ Displaystyle f ^ {*}}$Sadece sağ kesin (genel olarak) 'dir. Eğer kesin olduğunu f denir düz .${\ Displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$olan sol eşlenik ait doğrudan resim funktor . Bu doğal ünitesi ve counit morfizimler olduğunu ima ve . Bu morfizimler doğal birleşim yazışma verir:${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle f ^ {1 -} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}} f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Ancak morfizimler ve vardır neredeyse hiç izomorfizmalar. Örneğin, kapalı bir alt kümesi dahil edilmesini belirtmektedir, sap bir noktada için kanonik izomorf halinde olan ve aksi. Benzer bir birleşim yerine modüllerin kasnaklar durumu için geçerlidir tarafından . ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle f ^ {1 -} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle i Y kolon Z \ \}$${\ Displaystyle ı _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${Y \ displaystyle y \}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle i ^ {- 1}}$${\ Displaystyle i ^ {*}}$

Referanslar

• Iversen Birger (1986), makaraların kıhomolojisi , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190. bölüm II.4 bakınız.