Inverse bild functor - Inverse image functor

I matematik är den omvända bildfunktorn en samvariabel konstruktion av skivor . Den direkta bild funktor är den primära operation på kärvar, med den enklaste definition. Den omvända bilden visar några relativt subtila funktioner.

Bildfunktorer för kakor
direkt bild f ∗
omvänd bild f ∗
direkt bild med kompakt stöd f !
exceptionell omvänd bild Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Basändringssatser
v t e

Definition

Antag att vi får en bunt på och att vi vill transport till med hjälp av en kontinuerlig karta . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$

Vi kommer att kalla resultatet omvänd bild eller pullback- skaft . Om vi ​​försöker imitera den direkta bilden genom att ställa in ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

för varje öppen uppsättning av , vi omedelbart köra in i ett problem: inte nödvändigtvis öppnas. Det bästa vi kunde göra är att ungefärliga det med öppna uppsättningar, och även då kommer vi att få en förskjuvning och inte en kärv. Följaktligen definierar vi att vi är de kärvar som är förknippade med förhärningen : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Här är en öppen delmängd av och colimiten går över alla öppna delmängder med innehåller .) ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (U)}$

Om till exempel bara är inkluderingen av en punkt av , är det bara stjälken av vid denna punkt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Begränsningskartorna såväl som den omvända bildens funktionalitet följer av den allmänna egenskapen av direkta gränser .

När man hanterar morfismer i lokalt ringade utrymmen , till exempel scheman i algebraisk geometri , arbetar man ofta med skivor av -moduler , var är strukturen kärv av . Då är funktorn olämplig, för i allmänhet ger den inte ens skivor av -moduler. För att avhjälpa detta definierar man i denna situation för en kedja av -moduler dess omvända bild av ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Egenskaper

• Även om det är mer komplicerat att definiera än , är stjälkarna lättare att beräkna: en poäng har man .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ är en exakt funktor, vilket framgår av ovanstående beräkning av stjälkar.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$är (i allmänhet) bara rätt exakt. Om det är exakt kallas f platt .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$är den vänstra angränsaren till direktbildsfunktorn . Detta innebär att det finns naturliga enhets- och räknemorfismer och . Dessa morfismer ger en naturlig korrespondens för tillägg:${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ höger pil f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ högermark {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Men morfismer och är nästan aldrig isomorfier. Till exempel, om indikerar införandet av en sluten delmängd, är stjälken av vid en punkt kanoniskt isomorf till om den är i och annars. En liknande tillägg gäller för fall av moduler, ersättas med . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ höger pil f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ högermark {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle i \ colon Z \ to Y}$${\ displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ displaystyle i ^ {*}}$

referenser

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190. Se avsnitt II.4.