Funcție omogenă - Homogeneous function

În matematică , o funcție omogenă este una cu un comportament de scalare multiplicativă : dacă toate argumentele sale sunt înmulțite cu un factor , atunci valoarea sa este înmulțită cu o anumită putere a acestui factor.

De exemplu, un omogenă cu valori reale funcție de două variabile și este o funcție cu valori reale care îndeplinește condiția pentru o anumită constantă și toate numerele reale Constanta se numește gradul de omogenitate . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f (rx, ry) = r ^ {k} f (x, y)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r.}$${\ displaystyle k}$

Mai general, dacă este o funcție între două spații vectoriale peste un câmp și este un număr întreg , atunci se spune că este omogen de grad dacă ${\ displaystyle f: V \ to W}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f (s \ mathbf {v}) = s ^ {k} f (\ mathbf {v})}$

( 1 )

pentru toți scalarii diferiți de zero și Când spațiile vectoriale implicate depășesc numerele reale , se folosește adesea o formă ușor mai puțin generală de omogenitate, necesitând doar ( 1 ) valabil pentru toți${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$${\ displaystyle s> 0.}$

Funcțiile omogene pot fi definite și pentru spațiile vectoriale cu originea ștearsă, fapt care este utilizat în definiția snopilor pe spațiul proiectiv în geometria algebrică . Mai general, dacă este un subset care este invariant sub multiplicare scalară cu elemente ale câmpului (un "con"), atunci o funcție omogenă de la S la W poate fi încă definită prin ( 1 ). ${\ displaystyle S \ subseteq V}$

Exemple

Exemplul 1

Funcția este omogenă de gradul 2: ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

De exemplu, să presupunem și apoi ${\ displaystyle x = 2, y = 4,}$${\ displaystyle t = 5.}$

• ${\ displaystyle f (x, y) = 2 ^ {2} + 4 ^ {2} = 4 + 16 = 20,}$ și
• ${\ displaystyle f (5x, 5y) = 5 ^ {2} \ left (2 ^ {2} + 4 ^ {2} \ right) = 25 (20) = 500.}$

Funcții liniare

Orice hartă liniară este omogenă de gradul 1, deoarece prin definiția liniarității ${\ displaystyle f: V \ to W}$

pentru toți și${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$

În mod similar, orice funcție multiliniară este omogenă de grad, deoarece prin definiția multiliniarității ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W}$${\ displaystyle n}$

pentru toți și${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v_ {1} \ în V_ {1}, v_ {2} \ în V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ în V_ {n}.}$

Rezultă că -lea diferențial al unei funcții între două spații Banach și este omogenă de grad${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n.}$

Polinoame omogene

Monomiile din variabile definesc funcții omogene. De exemplu, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: \ mathbb {F} ^ {n} \ to \ mathbb {F}.}$

este omogenă de gradul 10 deoarece Gradul este suma exponenților pe variabile; în acest exemplu,${\ displaystyle 10 = 5 + 2 + 3.}$

Un polinom omogen este un polinom alcătuit dintr-o sumă de monomii de același grad. De exemplu,

este un polinom omogen de grad 5. Polinoamele omogene definesc și funcții omogene.

Având în vedere un polinom omogen de grad , este posibil să se obțină o funcție omogenă de gradul 1 prin creșterea la putere Deci, de exemplu, pentru fiecare funcția următoare este omogenă de gradul 1: ${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle 1 / k.}$${\ displaystyle k}$

Minim maxim

Pentru fiecare set de greutăți , următoarele funcții sunt omogene de gradul 1: ${\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n},}$

• ${\ displaystyle \ min \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$( Utilități Leontief )
• ${\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$

Polarizare

O funcție multiliniare din -lea produsul cartezian a cu ea însăși la subiacent câmpul dă naștere unei funcții omogene prin evaluarea pe diagonală: ${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}$

Funcția rezultată este un polinom pe spațiul vectorial${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V.}$

Invers, dacă are caracteristica zero, atunci dat un polinom omogen de grad pe polarizarea a este o funcție multiliniare pe produsul cartezian al -lea Polarizarea este definită prin: ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V.}$

Aceste două construcții, una dintr-un polinom omogen dintr-o formă multiliniară și cealaltă dintr-o formă multiliniară dintr-un polinom omogen, se inversează reciproc. Dimensiuni finite, acestea stabilesc un izomorfism de spații vectoriale gradate de algebra simetrică a la algebra de polinoame omogene pe${\ displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V.}$

Funcții raționale

Funcțiile raționale formate ca raportul a două polinoame omogene sunt funcții omogene din conul afinar decupat de locusul zero al numitorului. Astfel, dacă este omogen de grad și este omogen de grad atunci este omogen de grad departe de zerourile de${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle f / g}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle g.}$

Non-exemple

Logaritmi

Logaritmul natural scalează și deci nu în mod aditiv este omogenă. ${\ displaystyle f (x) = \ ln x}$

Acest lucru poate fi demonstrat cu următoarele exemple: și asta pentru că nu există așa ceva${\ displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5 + f (x),}$ ${\ displaystyle f (10x) = \ ln 10 + f (x),}$${\ displaystyle f (15x) = \ ln 15 + f (x).}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^ {k} \ cdot f (x).}$

Funcții afine

Funcțiile afine (funcția este un exemplu) nu se amplifică în mod multiplicativ. ${\ displaystyle f (x) = x + 5}$

Omogenitate pozitivă

În cazul special al spațiilor vectoriale peste numerele reale , noțiunea de omogenitate pozitivă joacă adesea un rol mai important decât omogenitatea în sensul de mai sus.

Să fie un spațiu vectorial peste un câmp și să fie un spațiu vectorial peste un câmp unde și vor fi de obicei (sau posibil să conțină doar subseturi) numerele reale sau numerele complexe Să fie o hartă. Definiți următoarea terminologie: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$

1. Omogenitate pozitivă strictă :pentru toateși pentru toatepozitivereale${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r> 0.}$
2. Omogenitate nonegativă :pentru toateși toatenon-negativereale${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
   • O funcție non-negativă cu valoare reală cu această proprietate poate fi caracterizată ca fiind o funcționalitate Minkowski .
   • Această proprietate este utilizată în definiția unei funcții subliniare .
3. Omogenitate pozitivă : Aceasta este de obicei definită pentru a însemna „omogenitate non-negativă”, dar este, de asemenea, frecvent definită pentru a însemna „omogenitate strictă pozitivă”.
   • Care dintre aceste două este aleasă ca definiție este de obicei irelevantă pentru că pentru o funcție evaluată într-un spațiu sau câmp vectorial, omogenitatea non-negativă este aceeași cu omogenitatea strictă pozitivă; definițiile vor fi logic echivalente .
4. Omogenitate reală :pentru toateși toate reale${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r.}$
   • Această proprietate este utilizată în definiția unei funcționale liniare reale .
5. Omogenitate :pentru toțiși toți scalarii${\ displaystyle f (sx) = sf (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Se subliniază că această definiție depinde de câmpul scalar care stă la baza domeniului .${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X}$
   • Această proprietate este utilizată în definiția funcționalităților liniare și a hărților liniare .
6. Conjugați omogenitatea :pentru toateși toate scalarele${\ displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Dacă atunci denotă în mod obișnuit conjugatul complex al Dar, mai general, ar putea fi imaginea sub un anumit automorfism al lui${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$
   • Împreună cu aditivitatea , această proprietate este asumată în definiția unei hărți antiliniare . De asemenea, se presupune că una dintre cele două coordonate ale unei forme sesquiliniare are această proprietate (cum ar fi produsul interior al unui spațiu Hilbert ).

Toate definițiile de mai sus pot fi generalizate prin înlocuirea condiției cu caz în care definiția respectivă este prefixată cu cuvântul „ absolut ” sau „ absolut ”. De exemplu, ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x),}$

7. Omogenitate reală absolută :pentru toateși pentru toate reale${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r.}$
8. Omogenitate absolută :pentru toateși toate scalarele${\ displaystyle f (sx) = | s | f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Această proprietate este utilizată în definiția unui seminorm și a unei norme .

Dacă este un număr real fix, atunci definițiile de mai sus pot fi generalizate în continuare prin înlocuirea condiției cu (și în mod similar, prin înlocuirea cu pentru condiții folosind valoarea absolută etc.), caz în care se spune că omogenitatea este „ de grad ” (unde, în special, toate definițiile de mai sus sunt „ de grad ”). De exemplu, ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$

9. Omogenitate nonegativă a gradului ${\ displaystyle k}$ :pentru toateși pentru toate reale${\ displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
10. Omogenitate reală a gradului ${\ displaystyle k}$ :pentru toateși toate reale${\ displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r.}$
11. Omogenitatea gradului ${\ displaystyle k}$ :pentru toateși toate scalarele${\ displaystyle f (sx) = s ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
12. Omogenitate reală absolută a gradului ${\ displaystyle k}$ :pentru toateși pentru toate reale${\ displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle r.}$
13. Omogenitate absolută a gradului ${\ displaystyle k}$ :pentru toateși toate scalarele${\ displaystyle f (sx) = | s | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$

O nenul funcție continuă care este omogenă de gradul pe extinde continuu dacă și numai dacă${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ backslash \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle k> 0.}$

Generalizări

Definițiile date mai sus sunt toate specializate în următoarea noțiune mai generală de omogenitate în care poate fi orice set (mai degrabă decât un spațiu vectorial) și numerele reale pot fi înlocuite cu noțiunea mai generală de monoid . ${\ displaystyle X}$

Monoizi și acțiuni monoide

Un monoid este o pereche formată dintr-un set și un operator asociativ în care există un element numit element de identitate , notat astfel încât pentru toți${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M \ to M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 1 \ în M,}$${\ displaystyle 1 \ cdot m = m = m \ cdot 1}$${\ displaystyle m \ in M.}$

Dacă este un monoid cu element de identitate și dacă atunci va fi utilizată următoarea notație: let și mai general pentru orice număr întreg pozitiv să fie produsul instanțelor de ; acesta este,${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle 1 \ în M}$${\ displaystyle m \ în M,}$${\ displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,}$${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m ^ {k}: = m \ cdot \ left (m ^ {k-1} \ right).}$

Este o practică obișnuită (de exemplu, cum ar fi în algebră sau calcul) să denotăm operația de multiplicare a unui monoid prin juxtapunere, ceea ce înseamnă că se poate scrie mai degrabă decât Acest lucru evită orice necesitate de a atribui un simbol operației de multiplicare a unui monoid. Când se utilizează această notație de juxtapunere, atunci ar trebui presupus automat că elementul de identitate al monoidului este notat cu${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle m \ cdot n.}$${\ displaystyle 1.}$

Fie un monoid cu element de identitate a cărui operație este notată prin juxtapunere și să fie un set. O acțiune monoidică de pe este o hartă care va fi, de asemenea, notată prin juxtapunere, astfel încât și pentru toți și toți${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ în M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M \ times M \ to X,}$${\ displaystyle 1x = x = x1}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle m, n \ in M.}$

Omogenitate

Să fie un monoid cu element de identitate să fie și să fie seturi și să presupunem că pe ambele și există acțiuni monoid definite ale lui Să fie un număr întreg negativ și să fie o hartă. Atunci se spune că este omogen de grad peste dacă pentru fiecare și${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ în M,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle m \ în M,}$

Dacă în plus există o funcție notată cu numită valoare absolută atunci se spune că este absolut omogenă de grad peste dacă pentru fiecare și${\ displaystyle M \ to M,}$${\ displaystyle m \ mapsto | m |,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle m \ în M,}$

$${\ displaystyle f (mx) = | m | ^ {k} f (x).}$$

O funcție este omogenă peste${\ displaystyle M}$ (resp. Absolut omogenă peste${\ displaystyle M}$ ) dacă este omogenă de grad peste (resp. Absolut omogenă de grad peste ). ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

Mai general, este posibil ca simbolurile să fie definite pentru cu a fi altceva decât un număr întreg (de exemplu, în cazul în care este numărul real și este un număr de zero real , atunci este definit chiar dacă nu este un număr întreg). Dacă acesta este cazul, atunci se va numi

omogen de grad peste dacă aceeași egalitate este valabilă: ${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle m \ în M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

$${\ displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x) \ quad {\ text {pentru fiecare}} x \ în X {\ text {și}} m \ în M.}$$

Noțiunea de a fi absolut omogen de grad peste${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$ este generalizată în mod similar.

Teorema funcției omogene a lui Euler

Funcțiile continuu diferențiate pozitiv omogene sunt caracterizate de următoarea teoremă:

Teorema funcției omogene a lui Euler  -  Să presupunem că funcția este continuu diferențiată . Atunci este pozitiv omogen de grad dacă și numai dacă ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ backslash \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).}$$

Dovadă  -

Acest rezultat urmează simultan prin diferențierea ambelor părți ale ecuației în ceea ce privește aplicarea regulii lanțului și alegerea de a fi${\ displaystyle f (\ alpha y) = \ alpha ^ {k} f (y)}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 1.}$

Conversația este dovedită prin integrare. Mai exact, să lăsăm Începând din${\ textstyle g (\ alpha) = f (\ alpha \ mathbf {x}).}$${\ textstyle \ alpha \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}$

${\ displaystyle g '(\ alpha) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alpha \ mathbf {x} ) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha).}$

Astfel, Acest lucru implică Prin urmare, : este pozitiv omogenă de grad${\ textstyle g ^ {\ prime} (\ alpha) - {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.}$${\ textstyle g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^ {k}.}$${\ textstyle f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^ {k} g (1) = \ alpha ^ {k} f (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k.}$

În consecință, să presupunem că este

diferențiat și omogen de grad Apoi derivatele sale parțiale de ordinul întâi sunt omogene de grad Rezultatul rezultă din teorema lui Euler prin comutarea operatorului cu derivata parțială. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k.}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}}$${\ displaystyle k-1.}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla}$

Se poate specializa teorema în cazul unei funcții a unei singure variabile reale ( ), caz în care funcția satisface

ecuația diferențială obișnuită${\ displaystyle n = 1}$ Această ecuație poate fi rezolvată folosind o abordare a factorului integrator , cu soluție unde${\ textstyle f (x) = cx ^ {k},}$${\ displaystyle c = f (1).}$

Distribuții omogene

O funcție continuă activată este omogenă de grad dacă și numai dacă ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$

pentru toate funcțiile de test compatibile ; și real zero În mod echivalent, efectuarea unei modificări a variabilei este omogenă de grad dacă și numai dacă ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle y = tx,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t ^ {- n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^ {k} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi (y) \, dy}$$

pentru toate și toate funcțiile de testare Ultimul afișaj face posibilă definirea omogenității distribuțiilor . O distribuție este omogenă de grad dacă ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t ^ {- n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t ^ {k} \ langle S, \ varphi \ rangle}$$

pentru toate funcțiile diferite de zero și toate funcțiile de test Aici parantezele unghiulare indică împerecherea dintre distribuții și funcțiile de testare, și este maparea diviziunii scalare cu numărul real${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle t.}$

Aplicarea la ecuații diferențiale

Articol principal: Ecuație diferențială omogenă

Substituția convertește

ecuația diferențială obișnuită${\ displaystyle v = y / x}$ unde și sunt funcții omogene de același grad, în ecuația diferențială separabilă${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

Vezi si

• Funcția de producție
• Funcția centru triunghi
• Funcția eliptică Weierstrass  - Clasa funcțiilor matematice

Note

Dovezi

Referințe

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analiza II (ediția a II-a) (în limba germană). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.

linkuri externe

• „Funcție omogenă” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. „Teorema funcției omogene a lui Euler” . MathWorld .