Homogen funktion - Homogeneous function

I matematik är en homogen funktion en med multiplikativ skalningsbeteende: om alla dess argument multipliceras med en faktor , multipliceras dess värde med någon effekt av denna faktor.

Till exempel kan en homogen reell funktion av två variabler och är en reell funktion som uppfyller villkoret för någon konstant och alla reella tal Konstanten kallas graden av homogenitet . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f (rx, ry) = r^{k} f (x, y)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r.}$${\ displaystyle k}$

Mer allmänt, om är en funktion mellan två vektorutrymmen över ett fält och är ett heltal , sägs det vara homogent om ${\ displaystyle f: V \ till W}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f (s \ mathbf {v}) = s^{k} f (\ mathbf {v})}$

( 1 )

för alla skalor utan noll och När de involverade vektorrummen är över de reella talen används ofta en något mindre allmän form av homogenitet, vilket endast kräver att ( 1 ) gäller för alla${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ i V.}$${\ displaystyle s> 0.}$

Homogena funktioner kan också definieras för vektorutrymmen med ursprunget raderat, ett faktum som används i definitionen av skivor på projektivt utrymme i algebraisk geometri . Mer allmänt, om det är någon delmängd som är invariant under skalär multiplikation med element i fältet (en "kon"), kan en homogen funktion från S till W fortfarande definieras av ( 1 ). ${\ displaystyle S \ subseteq V}$

Exempel

Exempel 1

Funktionen är homogen av grad 2: ${\ displaystyle f (x, y) = x^{2}+y^{2}}$

Anta till exempel och sedan ${\ displaystyle x = 2, y = 4,}$${\ displaystyle t = 5.}$

• ${\ displaystyle f (x, y) = 2^{2}+4^{2} = 4+16 = 20,}$ och
• ${\ displaystyle f (5x, 5y) = 5^{2} \ vänster (2^{2}+4^{2} \ höger) = 25 (20) = 500.}$

Linjära funktioner

Varje linjär karta är homogen av grad 1 eftersom den definieras av linearitet ${\ displaystyle f: V \ till W}$

för alla och${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ i V.}$

På samma sätt är varje multilinjär funktion homogen i grad eftersom den definieras av multilinearitet ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W}$${\ displaystyle n}$

för alla och${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v_ {1} \ i V_ {1}, v_ {2} \ i V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ i V_ {n}.}$

Därav följer att den -de skillnaden för en funktion mellan två Banach -mellanslag och är homogen${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n.}$

Homogena polynom

Monom i variabler definierar homogen funktion Till exempel, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: \ mathbb {F} ^{n} \ to \ mathbb {F}.}$

är homogen med grad 10 sedan Graden är summan av exponenterna på variablerna; i detta exempel,${\ displaystyle 10 = 5+2+3.}$

Ett homogent polynom är ett polynom som består av en summa monomialer av samma grad. Till exempel,

är en homogen polynom av grad 5. Homogena polynom definierar också homogena funktioner.

Med tanke på ett homogent polynom av grad är det möjligt att få en homogen funktion av grad 1 genom att höja till makten Så till exempel är följande funktion homogen för grad 1: ${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle 1/k.}$${\ displaystyle k}$

Min Max

För varje uppsättning vikter är följande funktioner homogena i grad 1: ${\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n},}$

• ${\ displaystyle \ min \ vänster ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ höger)}$( Leontief -verktyg )
• ${\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$

Polarisering

En multilinjär funktion från den -de kartesiska produkten av sig själv till det underliggande fältet ger upphov till en homogen funktion genom att utvärdera på diagonalen: ${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}$

Den resulterande funktionen är en polynom på vektorutrymmet${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V.}$

Omvänt, om har karakteristisk noll, sedan ges en homogen polynom av graden på den polarisering av en multilinjär funktion på -te kartesisk produkt av Polarisationen definieras av: ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V.}$

Dessa två konstruktioner, den ena av ett homogent polynom från en multilinjär form och den andra av en multilinjär form från ett homogent polynom, är inbördes inversa mot varandra. I ändliga dimensioner, de upprätta en isomorfism av graderade vektorrum från symmetriska algebra av till algebra av homogena polynom på${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle V.}$

Rationella funktioner

Rationella funktioner som bildas som förhållandet mellan två homogena polynom är homogena funktioner utanför affiniskonen som skärs ut av nollpunkten för nämnaren. Om sålunda är homogen av grad och är homogen av grad så är homogen grad av från nollorna${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle f/g}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle g.}$

Icke-exempel

Logaritmer

Den naturliga logaritmen skalas ytterligare och är därför inte homogen. ${\ displaystyle f (x) = \ ln x}$

Detta kan demonstreras med följande exempel: och det beror på att det inte finns något sådant${\ displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5+f (x),}$ ${\ displaystyle f (10x) = \ ln 10+f (x),}$${\ displaystyle f (15x) = \ ln 15+f (x).}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^{k} \ cdot f (x).}$

Affinera funktioner

Affinefunktioner (funktionen är ett exempel) skala i allmänhet inte multiplikativt. ${\ displaystyle f (x) = x+5}$

Positiv homogenitet

I det speciella fallet med vektorutrymmen över de reella talen spelar uppfattningen om positiv homogenitet ofta en viktigare roll än homogenitet i ovanstående mening.

Låt vara ett vektorutrymme över ett fält och låt vara ett vektorutrymme över ett fält där och vanligtvis kommer att vara (eller möjligen bara innehålla som delmängder) de verkliga talen eller komplexa talen Låt vara en karta. Definiera följande terminologi: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$

1. Strikt positiv homogenitet :för allaoch allapositivaverkliga${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r> 0.}$
2. Icke-negativ homogenitet :för allaoch allaicke-negativaverkliga${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
   • En icke-negativ verkliga värderade funktioner med denna egenskap kan karakteriseras som en Minkowski-funktion .
   • Denna egenskap används i definitionen av en sublinjär funktion .
3. Positiv homogenitet : Detta definieras vanligtvis som "icke -negativ homogenitet" men det definieras också ofta för att istället betyda "strikt positiv homogenitet".
   • Vilken av dessa två som väljs som definition är vanligtvis irrelevant eftersom för en funktion som värderas i ett vektorutrymme eller fält är icke -negativ homogenitet samma som strikt positiv homogenitet; definitionerna kommer att vara logiskt ekvivalenta .
4. Verklig homogenitet :för allaoch alla verkliga${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r.}$
   • Denna egenskap används i definitionen av en verklig linjär funktion .
5. Homogenitet :för allaoch alla skalarer${\ displaystyle f (sx) = sf (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Det understryks att denna definition beror på skalärfältet som ligger bakom domänen .${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X}$
   • Denna egenskap används i definitionen av linjära funktioner och linjära kartor .
6. Konjugera homogenitet :för allaoch alla skalarer${\ displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Om då typiskt betecknar det komplexa konjugatet av Men mer allmänt kan det vara bilden av under någon framstående automorfism av${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$
   • Tillsammans med additivitet antas denna egenskap i definitionen av en linjär karta . Det antas också att en av de två koordinaterna för en sesquilinear form har denna egenskap (såsom den inre produkten av ett Hilbert -utrymme ).

Alla ovanstående definitioner kan generaliseras genom att ersätta villkoret med i vilket fall den definitionen är prefixad med ordet " absolut " eller " absolut ". Till exempel, ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x),}$

7. Absolut verklig homogenitet :för allaoch alla verkliga${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r.}$
8. Absolut homogenitet :för allaoch alla skalarer${\ displaystyle f (sx) = | s | f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Denna egenskap används i definitionen av en seminorm och en norm .

Om är ett fast reellt tal kan ovanstående definitioner generaliseras ytterligare genom att ersätta villkoret med (och på liknande sätt genom att ersätta med för förhållanden som använder det absoluta värdet, etc.), i vilket fall sägs att homogeniteten är " av grad " (där i synnerhet alla ovanstående definitioner är " av grad "). Till exempel, ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$

9. Icke -negativ homogenitet av grad ${\ displaystyle k}$ :för allaoch alla verkliga${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
10. Verklig homogenitet av grad ${\ displaystyle k}$ :för allaoch alla verkliga${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r.}$
11. Gradens homogenitet ${\ displaystyle k}$ :för allaoch alla skalarer${\ displaystyle f (sx) = s^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
12. Absolut verklig homogenitet av grad ${\ displaystyle k}$ :för allaoch alla verkliga${\ displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle r.}$
13. Absolut homogenitet av grad ${\ displaystyle k}$ :för allaoch alla skalarer${\ displaystyle f (sx) = | s |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$

En icke-noll kontinuerlig funktion som är homogen av graden på sträcker sig kontinuerligt till om och endast om${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ backslash \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k> 0.}$

Generaliseringar

Definitionerna som ges ovan är alla specialiserade på följande mer allmänna uppfattning om homogenitet i vilken kan vara vilken uppsättning som helst (snarare än ett vektorutrymme) och de reella talen kan ersättas av den mer allmänna föreställningen om en monoid . ${\ displaystyle X}$

Monoider och monoida handlingar

En monoid är ett par som består av en uppsättning och en associativ operatör där det finns något element som kallas ett identitetselement , betecknat med sådant att för alla${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ gånger M \ till M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 1 \ i M,}$${\ displaystyle 1 \ cdot m = m = m \ cdot 1}$${\ displaystyle m \ i M.}$

If är en monoid med identitetselement och om då kommer följande notation att användas: låt och mer allmänt för alla positiva heltal låt vara produkten av instanser av ; det är,${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle 1 \ i M}$${\ displaystyle m \ i M,}$${\ displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,}$${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m^{k}: = m \ cdot \ left (m^{k-1} \ right).}$

Det är vanlig praxis (t.ex. i algebra eller kalkyl) att beteckna multiplikationsoperationen av en monoid genom sammansättning, vilket betyder att det kan skrivas snarare än Detta undviker behovet av att tilldela en symbol till en monoid multiplikationsoperation. När denna sammansättningsnotation används bör det automatiskt antas att monoidens identitetselement betecknas med${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle m \ cdot n.}$${\ displaystyle 1.}$

Låt vara en monoid med identitetselement vars funktion är betecknad med jämställdhet och låt vara en uppsättning. En monoid åtgärd av on är en karta som också kommer att betecknas med sida vid sida, så att och för alla och alla${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ i M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M \ gånger M \ till X,}$${\ displaystyle 1x = x = x1}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle m, n \ i M.}$

Homogenitet

Låt vara en monoid med identitetselement låt och vara uppsättningar, och anta att på båda och det finns definierade monoida handlingar av Låt vara ett icke-negativt heltal och låt vara en karta. Då sägs det vara homogent av grad om om för varje och${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ i M,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle m \ i M,}$

Om dessutom finns det en funktion betecknas med kallas en absolut värde då sägs vara absolut homogen av grad över om för varje och${\ displaystyle M \ till M,}$${\ displaystyle m \ mapsto | m |,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle m \ i M,}$

$${\ displaystyle f (mx) = | m |^{k} f (x).}$$

En funktion är homogen över${\ displaystyle M}$ (resp. Absolut homogen över${\ displaystyle M}$ ) om den är homogen av grad över (resp. Absolut homogen av grad över ). ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

Mer allmänt är det möjligt för symbolerna definieras för med att vara något annat än ett heltal (till exempel om är den verkliga siffror och är en icke-noll reella tal sedan definieras trots inte är ett heltal). Om så är fallet kommer att kallas

homogen av grad över om samma jämlikhet gäller: ${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle m \ i M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

$${\ displaystyle f (mx) = m^{k} f (x) \ quad {\ text {för varje}} x \ i X {\ text {och}} m \ i M.}$$

Föreställningen om att vara absolut homogen av grad över${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$ generaliseras på samma sätt.

Eulers homogena funktionsteorem

Kontinuerligt differentierade positivt homogena funktioner kännetecknas av följande sats:

Eulers homogena funktionsteorem  -  Antag att funktionen är kontinuerligt differentierbar . Då är den positivt homogen av graden om och bara om ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ backslash \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).}$$

Bevis  -

Detta resultat följer genast genom att differentiera båda sidor av ekvationen med avseende på tillämpning av kedjeregeln och välja att vara${\ displaystyle f (\ alpha y) = \ alpha ^{k} f (y)}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 1.}$

Det motsatta bevisas genom integrering. Specifikt, låt sedan${\ textstil g (\ alpha) = f (\ alpha \ mathbf {x}).}$${\ textstil \ alpha \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}$

${\ displaystyle g '(\ alpha) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alpha \ mathbf {x} ) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha).}$

Alltså, Detta innebär därför ,: är positivt homogent av grad${\ textstil g^{\ prime} (\ alpha)-{\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.}$${\ textstil g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^{k}.}$${\ textstil f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^{k} g (1) = \ alpha ^{k} f (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k.}$

Antag som en konsekvens att det är

differentierbart och homogent i grad. Sedan är dess första ordningens partiella derivat homogena i grad. Resultatet följer av Eulers sats genom att pendla operatören med det partiella derivatet. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k.}$ ${\ displaystyle \ partiell f/\ partiell x_ {i}}$${\ displaystyle k-1.}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla}$

Man kan specialisera satsen till fallet med en funktion av en enda verklig variabel ( ), i vilket fall funktionen uppfyller den

vanliga differentialekvationen${\ displaystyle n = 1}$ Denna ekvation kan lösas med en integreringsfaktormetod , med lösning där${\ textstil f (x) = cx^{k},}$${\ displaystyle c = f (1).}$

Homogena fördelningar

En kontinuerlig funktion på är homogen i grad om och bara om ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k}$

för alla kompakt stödda testfunktioner ; och icke -noll verkligt Likvärdigt är en ändring av variabel homogen i grad om och bara om ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle y = tx,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t ^{-n} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^{k} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi (y) \, dy}$$

för alla och alla testfunktioner Den sista displayen gör det möjligt att definiera homogenitet i fördelningar . En fördelning är homogen av graden om ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t^{-n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t^{k} \ langle S, \ varphi \ rangle}$$

för alla icke-noll reella och alla testfunktioner Här fästvinklarna beteckna parning mellan distributioner och testfunktioner, och är kartläggningen av skalär division med det verkliga antalet${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle t.}$

Tillämpning på differentialekvationer

Huvudartikel: Homogen differentialekvation

Substitutionen omvandlar den

vanliga differentialekvationen${\ displaystyle v = y/x}$ där och är homogena funktioner av samma grad, i den separerbara differentialekvationen${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

Se även

• Produktionsfunktion
• Triangelns mittfunktion
• Weierstrass elliptisk funktion  - Klass av matematiska funktioner

Anteckningar

Bevis

Referenser

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analys II (andra upplagan) (på tyska). Springer Verlag. sid. 188. ISBN 3-540-09484-9.

externa länkar

• "Homogen funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Eulers homogena funktionsteorem" . MathWorld .