Homogén funkció - Homogeneous function

A matematika , a homogén függvény az egyik multiplikatív méretezési viselkedés: ha az egész érv szorozzuk tényező , akkor annak értéke szorozva néhány ereje ezt a tényezőt.

Például két változó homogén valós értékű függvénye , és egy valós értékű függvény, amely kielégíti bizonyos állandó és minden valós szám feltételét. Az állandót a homogenitás fokának nevezzük . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f (rx, ry) = r^{k} f (x, y)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r.}$${\ displaystyle k}$

Általánosabban, ha egy funkció két vektor terek , mint egy mezőt , és egy egész szám , akkor azt mondják, hogy homogén fokú , ha ${\ displaystyle f: V \ W}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f (s \ mathbf {v}) = s^{k} f (\ mathbf {v})}$

( 1 )

minden nem nulla skalár esetében, és ha az érintett vektorterek meghaladják a valós számokat , a homogenitás kissé kevésbé általános formáját gyakran használják, és csak ezt kell megkövetelni ( 1 )${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$${\ displaystyle s> 0.}$

Homogén függvények definiálhatók a vektoros terekhez is, az eredet törlésével, ezt a tényt használják a kévek meghatározására a projektív térben az algebrai geometriában . Általánosságban elmondható, hogy ha van olyan részhalmaz , amely invariáns a mező elemeivel ("kúp") való skaláris szorzás alatt, akkor az S -tól W -ig terjedő homogén függvényt továbbra is az ( 1 ) határozza meg . ${\ displaystyle S \ subseteq V}$

Példák

1. példa

A függvény a 2. fok homogén: ${\ displaystyle f (x, y) = x^{2}+y^{2}}$

Például tegyük fel, és akkor ${\ displaystyle x = 2, y = 4,}$${\ displaystyle t = 5.}$

• ${\ displaystyle f (x, y) = 2^{2}+4^{2} = 4+16 = 20,}$ és
• ${\ displaystyle f (5x, 5y) = 5^{2} \ left (2^{2}+4^{2} \ right) = 25 (20) = 500.}$

Lineáris függvények

Bármely lineáris térkép homogén az 1. foknál, mivel a linearitás definíciója szerint ${\ displaystyle f: V \ W}$

mindenkinek és${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$

Hasonlóképpen, minden többsoros függvény homogén mértékű, mivel a többsorosság meghatározása szerint ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W}$${\ displaystyle n}$

mindenkinek és${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}, v_ {2} \ in V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ in V_ {n}.}$

Ebből következik, hogy két Banach -tér közötti függvény -edik differenciája , és mértéke homogén${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: X \ Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n.}$

Homogén polinomok

Egytagú a változók határozzák homogén függvény például ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: \ mathbb {F} ^{n} \ to \ mathbb {F}.}$

óta homogén a 10 fok A fok a változók kitevőinek összege; ebben a példában,${\ displaystyle 10 = 5+2+3.}$

A homogén polinom egy polinom alkotják összege egytagú azonos mértékben. Például,

fokú homogén polinom. A homogén polinomok homogén függvényeket is meghatároznak.

Ha egy homogén fokú polinomot adunk meg, akkor az 1 fokú homogén függvényt kaphatjuk meg, ha hatványra emeljük. Tehát például minden egyes függvény 1 -es fokú homogén: ${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle 1/k.}$${\ displaystyle k}$

Minimum maximum

Minden súlycsoport esetében a következő függvények 1 -es fokúak: ${\ displaystyle w_ {1}, \ pöttyök, w_ {n},}$

• ${\ displaystyle \ min \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ pöttyök, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$( Leontief segédprogramok )
• ${\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ pöttyök, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ jobb)}$

Polarizáció

Egy Multilineáris függvény a -edik Descartes-szorzat az önmagával, hogy az alapul szolgáló mezőt ad okot, hogy egy homogén függvény kiértékelésével az átlós: ${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}$

A kapott függvény egy polinom a vektortéren${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V.}$

Ezzel szemben, ha van jellemző nulla, majd adott egy homogén polinom fokú szóló a polarizációs az egy Multilineáris funkciója a -edik Descartes-szorzat az A polarizációt határozza meg: ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V.}$

Ez a két konstrukció, az egyik egy homogén polinom egy többsoros formából, a másik egy többsoros forma egy homogén polinomból, kölcsönösen inverzek egymással. A véges méretei, megindul egy izomorfizmus az osztályozott vektor terek a szimmetrikus algebra az a algebra homogén polinomok a${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle V.}$

Racionális függvények

A két homogén polinom arányaként képzett racionális függvények homogén függvényei az affin kúpnak , amelyet a nevező nulla lókusza kivág. Tehát, ha homogén fokú és homogén fokú, akkor foktól homogén a nulláktól távol${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle f/g}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle g.}$

Nem példák

Logaritmusok

A természetes logaritmus additívan skálázódik, így nem homogén. ${\ displaystyle f (x) = \ ln x}$

Ezt a következő példákkal lehet demonstrálni: és Ez azért van, mert nincs ilyen${\ displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5+f (x),}$ ${\ displaystyle f (10x) = \ ln 10+f (x),}$${\ displaystyle f (15x) = \ ln 15+f (x).}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^{k} \ cdot f (x).}$

Affine funkciók

Az affin függvények (a függvény egy példa) általában nem multiplikatív skálán mozognak. ${\ displaystyle f (x) = x+5}$

Pozitív homogenitás

A valós számok feletti vektoros terek különleges esetben a pozitív homogenitás fogalma gyakran fontosabb szerepet játszik, mint a fenti értelemben vett homogenitás.

Legyen egy vektor tér egy mező felett, és legyen egy vektor mező egy olyan mező felett, ahol általában és (vagy esetleg csak részhalmazként) szerepelnek a valós számok vagy komplex számok Legyen térkép. Határozza meg a következő terminológiát: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: X \ Y}$

1. Szigorú pozitív homogenitás :mindenés mindenpozitívvalós${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r> 0.}$
2. Nemnegatív homogenitás :mindenés mindennem negatívvalós számára${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
   • Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező nem negatív, valós értékű függvényeket Minkowski-függvényként lehet jellemezni .
   • Ezt a tulajdonságot egy szublineáris függvény meghatározására használják .
3. Pozitív homogenitás : Ezt általában úgy határozzák meg, hogy "nemnegatív homogenitás", de gyakran azt is definiálják, hogy "szigorú pozitív homogenitás".
   • E kettő közül melyiket választják definíciónak, általában irreleváns, mert egy vektor térben vagy mezőben értékelt függvény esetében a nemnegatív homogenitás megegyezik a szigorú pozitív homogenitással; a definíciók logikailag egyenértékűek lesznek .
4. Valódi homogenitás :mindenés minden valós${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
   • Ezt a tulajdonságot egy valós lineáris függvény meghatározására használják .
5. A homogenitás :mindenés minden skalár${\ displaystyle f (sx) = sf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Hangsúlyozzuk, hogy ez a definíció a tartomány alapjául szolgáló skaláris mezőtől függ .${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X}$
   • Ezt a tulajdonságot a lineáris funkcionálok és a lineáris térképek meghatározására használják .
6. Konjugált homogenitás :mindenés minden skalár esetében${\ displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Ha akkor általában jelöli a komplex konjugált a De általában lehet a kép alapján olyan kiváló automorfizmusa${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$
   • Az additivitás mellett ezt a tulajdonságot feltételezzük az antilineáris térkép definíciójában . Feltételezzük azt is, hogy egy sesquilinear forma két koordinátájának egyike rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (például egy Hilbert -tér belső szorzata ).

Az összes fenti meghatározások általánosítható helyett a feltétel az , amely esetben ez a meghatározás előtagja a „ abszolút ” vagy „ teljesen ”. Például, ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x),}$

7. Abszolút valódi homogenitás :mindenés minden valódi${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
8. Abszolút homogenitás :mindenés minden skalár${\ displaystyle f (sx) = | s | f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Ezt a tulajdonságot használják a szeminorm és a norma definíciójában .

Ha egy rögzített valós szám, akkor a fenti meghatározásokat tovább általánosítható helyett a feltétel a (és hasonlóképpen, helyettesítve a feltételekhez segítségével az abszolút érték, stb), amely esetben a homogenitást azt mondják, hogy „ a mértéke ” (ahol különösen a fenti definíciók mindegyike " fokozat "). Például, ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$

9. Nemnegatív homogenitása fokozat ${\ displaystyle k}$ :mindenés minden valós${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
10. Valódi homogenitása fokozat ${\ displaystyle k}$ :mindenés minden valós${\ displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
11. Homogenitása fokozat ${\ displaystyle k}$ :mindenés minden skalár${\ displaystyle f (sx) = s^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
12. A fok abszolút valódi homogenitása ${\ displaystyle k}$ :mindenés minden valódi${\ displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
13. A fok abszolút homogenitása ${\ displaystyle k}$ :mindenés minden skalár esetében${\ displaystyle f (sx) = | s |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$

Egy nulla folytonos függvény , amely homogén a mértéke a folytonosan kiterjed, hogy ha, és csak akkor, ha${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ fordított perjel \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k> 0.}$

Általánosítások

A fent megadott definíciók mind a következő általánosabb homogenitásfogalomra specializálódtak, amelyben bármilyen halmaz lehet (nem pedig vektor tér), és a valós számok helyettesíthetők a monoid általánosabb fogalmával . ${\ displaystyle X}$

Monoidok és monoid akciók

A monoid egy halmazból és egy asszociatív operátorból álló pár , ahol van egy elem, az úgynevezett identitáselem , amelyet úgy jelölünk , hogy minden${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ M M - M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 1 \ M,}$${\ displaystyle 1 \ cdot m = m = m \ cdot 1}$${\ displaystyle m \ in M.}$

Ha egy azonosító elemű monoid, és ha igen, akkor a következő jelölést kell használni: hagyjuk, és általában véve minden pozitív egész szám legyen a példányok szorzata ; vagyis${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle m \ M,}$${\ displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,}$${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m^{k}: = m \ cdot \ left (m^{k-1} \ right).}$

Általános gyakorlat (pl. Például az algebrában vagy a számításban), hogy a monoid szorzási műveletét egymás mellé helyezéssel jelöljük , vagyis inkább írható, mint ez elkerülhető, hogy szükség legyen szimbólum hozzárendelésére a monoid szorzási műveletéhez. Amikor ezt az egymás melletti jelölést használják, akkor automatikusan feltételezni kell, hogy a monoid azonosító elemét a${\ displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle m \ cdot n.}$${\ displaystyle 1.}$

Legyen egy monoid azonosító elemmel, amelynek működését egymás mellé helyezés jelöli, és legyen halmaz. A monoid akció az on van egy térkép , amely szintén jelöljük egymás mellé úgy, hogy s mindenkorra , és minden${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M \ x M \ X,}$${\ displaystyle 1x = x = x1}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m, n \ in M.}$

Homogenitás

Legyen egy monoid identitás elemmel let és legyen halmaz, és tegyük fel, hogy mindkét és vannak meghatározott monoid cselekvései Legyen egy nem negatív egész szám és legyen térkép. Akkor azt mondják, hogy homogén fokú , ha minden és${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ M,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: X \ Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m \ M,}$

Ha ezen kívül van egy függvény jelölt úgynevezett abszolút érték , akkor azt mondják, hogy teljesen homogén foka felett , ha minden és${\ displaystyle M \ M,}$${\ displaystyle m \ mapsto | m |,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m \ M,}$

$${\ displaystyle f (mx) = | m |^{k} f (x).}$$

Egy függvény akkor homogén túl${\ displaystyle M}$ (ill. Abszolút homogén fölött${\ displaystyle M}$ ), ha homogén fokú felett (ill. Abszolút homogén fok felett ). ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

Általánosságban elmondható, hogy a szimbólumokat úgy is definiálhatjuk , hogy azok nem egész számok (például ha a valós számok, és nem nulla valós számok, akkor akkor is definiálhatóak, ha nem egész számok). Ha ez a helyzet, akkor

homogén fokúnak nevezzük , ha ugyanaz az egyenlőség fennáll: ${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle m \ in M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

$${\ displaystyle f (mx) = m^{k} f (x) \ quad {\ text {for}}} x \ in X {\ text {and}} m \ in M.}$$

Az az elképzelés, hogy teljesen homogén fok felett${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$ általánossá hasonlóan.

Euler homogén függvénytétele

A folyamatosan differenciálható pozitív homogén függvényeket a következő tétel jellemzi:

Euler homogén függvény tétel  -  Tegyük fel, hogy a funkció a folytonosan differenciálható . Akkor pozitív homogén a fok, ha és csak akkor ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ fordított perjel \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).}$$

Bizonyítás  -

Ez az eredmény a következőképpen egyszerre differenciálásával mindkét oldalán az egyenlet képest alkalmazása láncszabályt , és kiválasztja , hogy${\ displaystyle f (\ alfa y) = \ alpha ^{k} f (y)}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 1.}$

Az ellenkezőjét az integráció bizonyítja. Konkrétan hagyja, hogy óta${\ texttyle g (\ alpha) = f (\ alpha \ mathbf {x}).}$${\ texttyle \ alpha \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}$

${\ displaystyle g '(\ alfa) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alfa \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alfa \ mathbf {x} ) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alfa).}$

Így ez magában foglalja Ezért :: fokozata pozitívan homogén${\ texttyle g^{\ prime} (\ alpha)-{\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.}$${\ texttyle g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^{k}.}$${\ texttyle f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^{k} g (1) = \ alpha ^{k} f (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k.}$

Ennek következtében, tegyük fel, hogy van

differenciálható és homogén fokú Ezután az elsőrendű parciális deriváltak homogén fokú Az eredmény következik Euler-tétel ingázás az üzemeltető a parciális derivált. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k.}$ ${\ displaystyle \ részleges f/\ részleges x_ {i}}$${\ displaystyle k-1.}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla}$

A tételt egyetlen valós változó függvényére lehet specializálni ( ), amely esetben a függvény megfelel a

szokásos differenciálegyenletnek${\ displaystyle n = 1}$ Ez az egyenlet megoldható integráló faktoros megközelítés alkalmazásával, ahol a megoldás${\ texttyle f (x) = cx^{k},}$${\ displaystyle c = f (1).}$

Homogén eloszlások

A folyamatos függvény bekapcsolása akkor és csak akkor homogén${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k}$

az összes kompakt támogatott tesztfüggvényeken ; és nem nulla valós Hasonlóképpen, a változó megváltoztatása akkor és csak akkor homogén${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle y = tx,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t ^{-n} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^{k} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi (y) \, dy}$$

minden és az összes vizsgálati funkció Az utolsó kijelző lehetővé teszi, hogy meghatározza homogenitását eloszlás . Az eloszlás mértéke homogén, ha ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle t^{-n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t^{k} \ langle S, \ varphi \ rangle}$$

minden nem nulla valós és minden tesztfüggvényre Itt a szögletes zárójelek az eloszlások és a tesztfüggvények párosítását jelölik, és a skaláris osztás leképezése a valós számmal${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle t.}$

Alkalmazás differenciálegyenletekhez

Fő cikk: Homogén differenciálegyenlet

A helyettesítés átalakítja a

közönséges differenciálegyenletet${\ displaystyle v = y/x}$ ahol és azonos fokú homogén függvények, az elválasztható differenciálegyenletbe${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

Lásd még

• Gyártási funkció
• Háromszög középső funkció
• Weierstrass elliptikus függvény  - Matematikai függvények osztálya

Megjegyzések

Bizonyítékok

Hivatkozások

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Elemzés II (2. kiadás) (németül). Springer Verlag. o. 188. ISBN 3-540-09484-9.

Külső linkek

• "Homogenous function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Euler homogén függvény tétele" . MathWorld .