Homogene Funktion - Homogeneous function

In der Mathematik ist eine homogene Funktion eine Funktion mit multiplikativem Skalierungsverhalten: Wenn alle ihre Argumente mit einem Faktor multipliziert werden , wird ihr Wert mit einer Potenz dieses Faktors multipliziert.

Zum Beispiel eine homogene reellwertige Funktion von zwei Variablen und ist eine reellwertige Funktion, die die Bedingung für einige Konstanten und alle reellen Zahlen erfüllt Die Konstante wird als Homogenitätsgrad bezeichnet . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(rx,ry)=r^{k}f(x,y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r.}$${\displaystyle k}$

Allgemeiner gesagt , wenn eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen über einem Körper und eine ganze Zahl ist , dann heißt es gradhomogen, wenn ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(s\mathbf{v})=s^{k}f(\mathbf{v})}$

( 1 )

für alle Skalare ungleich null und Wenn die beteiligten Vektorräume über den reellen Zahlen liegen , wird oft eine etwas weniger allgemeine Form der Homogenität verwendet, die nur erfordert, dass ( 1 ) für alle gilt${\displaystyle s\in\mathbb{F}}$${\displaystyle v\in V.}$${\displaystyle s>0.}$

Homogene Funktionen können auch für Vektorräume mit gelöschtem Ursprung definiert werden, eine Tatsache, die bei der Definition von Garben im projektiven Raum in der algebraischen Geometrie verwendet wird . Allgemeiner gesagt, wenn eine Teilmenge ist, die unter skalarer Multiplikation mit Elementen des Körpers invariant ist (ein "Kegel"), dann kann eine homogene Funktion von S nach W immer noch durch ( 1 ) definiert werden . ${\displaystyle S\subseteq V}$

Beispiele

Beispiel 1

Die Funktion ist homogen vom Grad 2: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

Nehmen wir zum Beispiel an und dann ${\displaystyle x=2,y=4,}$${\displaystyle t=5.}$

• ${\displaystyle f(x,y)=2^{2}+4^{2}=4+16=20,}$ und
• ${\displaystyle f(5x,5y)=5^{2}\left(2^{2}+4^{2}\right)=25(20)=500.}$

Lineare Funktionen

Jede lineare Abbildung ist homogen vom Grad 1 da nach der Definition der Linearität ${\displaystyle f:V\to W}$

für alle und${\displaystyle\alpha\in\mathbb{F}}$${\displaystyle v\in V.}$

In ähnlicher Weise ist jede multilineare Funktion vom Grad her homogen, da nach der Definition der Multilinearität ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$${\displaystyle n}$

für alle und${\displaystyle\alpha\in\mathbb{F}}$${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots,v_{n}\in V_{n}.}$

Daraus folgt, dass das -te Differential einer Funktion zwischen zwei Banachräumen und homogen vom Grad . ist${\displaystyle n}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n.}$

Homogene Polynome

Monome in Variablen definieren homogene Funktionen Zum Beispiel: ${\displaystyle n}$${\displaystyle f:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}.}$

ist homogen vom Grad 10, da Der Grad ist die Summe der Exponenten der Variablen; in diesem Beispiel,${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Ein homogenes Polynom ist ein Polynom , das aus einer Summe von Monomen gleichen Grades besteht. Beispielsweise,

ist ein homogenes Polynom vom Grad 5. Homogene Polynome definieren auch homogene Funktionen.

Bei einem homogenes Polynom vom Grad ist es möglich , eine homogene Funktion vom Grad 1 durch Anheben an die Macht kommen beispielsweise also jede für die folgende Funktion homogen vom Grad 1: ${\displaystyle k,}$${\displaystyle 1/k.}$${\displaystyle k}$

Minimal Maximal

Für jede Menge von Gewichten sind die folgenden Funktionen homogen vom Grad 1: ${\displaystyle w_{1},\dots,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Leontief Versorgungsunternehmen )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Polarisation

Eine multilineare Funktion vom -ten kartesischen Produkt von mit sich selbst zum zugrunde liegenden Körper ergibt eine homogene Funktion durch Auswertung auf der Diagonalen: ${\displaystyle g:V\times V\times \cdots \times V\to\mathbb{F}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle f:V\to\mathbb{F}}$

Die resultierende Funktion ist ein Polynom auf dem Vektorraum${\displaystyle f}$${\displaystyle V.}$

Umgekehrt, wenn die Charakteristik Null hat, dann ist ein homogenes Polynom vom Grad auf der Polarisation von eine multilineare Funktion auf dem -ten kartesischen Produkt von Die Polarisation ist definiert durch: ${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:V\times V\times \cdots \times V\to\mathbb{F}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V.}$

Diese beiden Konstruktionen, eine aus einem homogenen Polynom aus einer multilinearen Form und die andere aus einer multilinearen Form aus einem homogenen Polynom, sind zueinander invers. In endlichen Abmessungen, schaffen sie einen Isomorphismus von abgestufter Vektorräumen von der symmetrischen Algebra von auf die Algebra homogener Polynome auf${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V.}$

Rationale Funktionen

Rationale Funktionen, die als Verhältnis zweier homogener Polynome gebildet werden, sind homogene Funktionen außerhalb des affinen Kegels , der durch den Nullort des Nenners ausgeschnitten wird. Wenn also gradhomogen und gradhomogen ist, dann ist gradhomogen weg von den Nullstellen von${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle g.}$

Nicht-Beispiele

Logarithmen

Der natürliche Logarithmus skaliert additiv und ist daher nicht homogen. ${\displaystyle f(x)=\lnx}$

Dies kann mit den folgenden Beispielen demonstriert werden: und Dies liegt daran, dass es kein solches gibt, dass${\displaystyle f(5x)=\ln 5x=\ln 5+f(x),}$ ${\displaystyle f(10x)=\ln 10+f(x),}$${\displaystyle f(15x)=\ln 15+f(x).}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f(\alpha\cdot x)=\alpha^{k}\cdot f(x).}$

Affine Funktionen

Affine Funktionen (die Funktion ist ein Beispiel) skalieren im Allgemeinen nicht multiplikativ. ${\displaystyle f(x)=x+5}$

Positive Homogenität

Im Spezialfall der Vektorräume über den reellen Zahlen spielt der Begriff der positiven Homogenität oft eine wichtigere Rolle als die Homogenität im obigen Sinne.

Sei ein Vektorraum über einem Körper und sei ein Vektorraum über einem Körper, wo und wird normalerweise (oder möglicherweise nur als Teilmengen) die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen sein. Sei eine Abbildung. Definieren Sie die folgende Terminologie: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle\mathbb{G}}$${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle\mathbb{G}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$${\displaystyle f:X\to Y}$

1. Strenge positive Homogenität :für alleund allepositivreal${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r>0.}$
2. Nichtnegative Homogenität :für alleund allenicht-negativenreellen${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r\geq 0.}$
   • Eine nicht-negative reellwertige Funktion mit dieser Eigenschaft kann als Minkowski-Funktional charakterisiert werden .
   • Diese Eigenschaft wird bei der Definition einer sublinearen Funktion verwendet .
3. Positive Homogenität : Dies wird normalerweise als "nicht negative Homogenität" definiert, aber es wird auch häufig als "streng positive Homogenität" definiert.
   • Welche dieser beiden Definitionen gewählt wird, ist normalerweise irrelevant, da für eine Funktion, die in einem Vektorraum oder Körper bewertet wird, nichtnegative Homogenität dasselbe ist wie strikt positive Homogenität; die Definitionen sind logisch äquivalent .
4. Echte Homogenität :für alleund alle echt${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
   • Diese Eigenschaft wird bei der Definition eines reellen linearen Funktionals verwendet .
5. Homogenität :für alleund alle Skalare${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in\mathbb{F}.}$
   • Es wird betont, dass diese Definition von dem Skalarfeld abhängt, das der Domäne zugrunde liegt .${\displaystyle \mathbb{F}}$${\displaystyle X}$
   • Diese Eigenschaft wird bei der Definition von linearen Funktionalen und linearen Abbildungen verwendet .
6. Konjugierte Homogenität :für alleund alle Skalare${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in\mathbb{F}.}$
   • Wenn dann typischerweise die komplex Konjugierte von Aber allgemeiner ausgedrückt, könnte das Bild von unter einem bestimmten Automorphismus von sein${\displaystyle \mathbb{F} =\mathbb{C}}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle\mathbb{F}.}$
   • Zusammen mit der Additivität wird diese Eigenschaft bei der Definition einer antilinearen Abbildung vorausgesetzt . Es wird auch angenommen, dass eine der beiden Koordinaten einer sesquilinearen Form diese Eigenschaft hat (wie das innere Produkt eines Hilbert-Raums ).

Alle oben genannten Definitionen können durch Ersetzen der Bedingung verallgemeinert werden mit in welchem Fall diese Definition mit dem Wort „vorangestellt ist absolute “ oder „ absolut “ . Beispielsweise, ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

7. Absolute echte Homogenität :für alleund alle echt${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
8. Absolute Homogenität :füralle Skalare${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in\mathbb{F}.}$
   • Diese Eigenschaft wird bei der Definition einer Seminorm und einer Norm verwendet .

Wenn eine feste reelle Zahl , dann können die obigen Definitionen weiter durch Ersetzen die Bedingung verallgemeinert werden mit (und in ähnlicher Weise durch Ersetzen mit für die Bedingungen des Absolutwerts unter Verwendung, etc.), in welchem Fall die Homogenität wird als „sein vom Grad “ (wobei insbesondere alle obigen Definitionen „ von Grad “ sind). Zum Beispiel, ${\displaystyle k}$${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1}$

9. Nichtnegative Gradhomogenität ${\displaystyle k}$ :für alleund alle reell${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r\geq 0.}$
10. Echte Gradhomogenität ${\displaystyle k}$ :für alleund alle echt${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
11. Gradhomogenität ${\displaystyle k}$ :füralle Skalare${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in\mathbb{F}.}$
12. Absolute reale Homogenität des Grades ${\displaystyle k}$ :für alleund alle real${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
13. Absolute Gradhomogenität ${\displaystyle k}$ :füralle Skalare${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in\mathbb{F}.}$

Eine vom Grad an homogene stetige Funktion ungleich null erstreckt sich genau dann stetig, wenn${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle k>0.}$

Verallgemeinerungen

Die oben angegebenen Definitionen sind alle auf den folgenden allgemeineren Begriff der Homogenität spezialisiert, bei dem es sich um eine beliebige Menge (und nicht um einen Vektorraum) handeln kann und die reellen Zahlen durch den allgemeineren Begriff eines Monoids ersetzt werden können . ${\displaystyle X}$

Monoide und monoide Aktionen

Ein Monoid ist ein Paar, das aus einer Menge und einem assoziativen Operator besteht, wobei es ein Element gibt , das als Identitätselement bezeichnet wird , bezeichnet durch so dass für alle${\displaystyle (M,\,\cdot\,)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\times M\to M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1\in M,}$${\displaystyle 1\cdot m=m=m\cdot 1}$${\displaystyle m\in M.}$

If ist ein Monoid mit Identitätselement und if dann wird die folgende Notation verwendet: let und allgemeiner für alle positiven ganzen Zahlen sei das Produkt von Instanzen von ; das ist,${\displaystyle (M,\,\cdot\,)}$${\displaystyle 1\in M}$${\displaystyle m\in M,}$${\displaystyle m_{0}:=1,m_{1}:=m,m_{2}:=m\cdot m,}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle m^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m^{k}:=m\cdot\left(m^{k-1}\right).}$

Es ist gängige Praxis (z. B. in Algebra oder Infinitesimalrechnung), die Multiplikationsoperation eines Monoids durch Nebeneinanderstellung zu bezeichnen, was bedeutet, dass es statt geschrieben werden kann. Dies vermeidet jede Notwendigkeit, der Multiplikationsoperation eines Monoids ein Symbol zuzuweisen. Wenn diese Nebeneinandernotation verwendet wird, sollte automatisch angenommen werden, dass das Identitätselement des Monoids mit . bezeichnet wird${\displaystyle (M,\,\cdot\,)}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle m\cdot n.}$${\displaystyle 1.}$

Sei ein Monoid mit Identitätselement, dessen Operation durch Nebeneinanderstellung bezeichnet wird, und sei eine Menge. Eine monoide Aktion von on ist eine Karte, die auch durch Nebeneinanderstellung bezeichnet wird, so dass und für alle und alle${\displaystyle M}$${\displaystyle 1\in M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\times M\to X,}$${\displaystyle 1x=x=x1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle m,n\in M.}$

Homogenität

Sei ein Monoid mit Identitätselement let und be Mengen, und es sei auf beiden und definierte Monoid-Aktionen von Sei eine nicht-negative ganze Zahl und sei eine Abbildung. Dann heißt gradhomogen über wenn für jedes und${\displaystyle M}$${\displaystyle 1\in M,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle m\in M,}$

Wenn es zusätzlich eine Funktion gibt, die als absoluter Wert bezeichnet wird, dann heißt sie vom Grad her absolut homogen über wenn für jedes und${\displaystyle M\to M,}$${\displaystyle m\mapsto |m|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Eine Funktion ist homogen über${\displaystyle M}$ (bzw. absolut homogen über${\displaystyle M}$ ), wenn sie vom Grad über homogen ist (bzw. absolut homogen vom Grad über ). ${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$

Allgemeiner gesagt , ist es möglich , dass die Symbole für definiert werden mit , etwas anderes als eine ganze Zahl (zum Beispiel, wenn die reellen Zahlen und ist eine von Null verschiedene reelle Zahl dann auch wenn definiert ist nicht eine ganze Zahl ist). Ist dies der Fall , dann wird aufgerufen,

homogen vom Grad über , wenn die gleiche Gleichheit gilt: ${\displaystyle m^{k}}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ für jedes }}x\in X{\text{ und }}m\in M.}$$

Der Begriff der absoluten Homogenität des Grades über${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$ wird ähnlich verallgemeinert.

Der homogene Funktionensatz von Euler

Stetig differenzierbare positiv homogene Funktionen werden durch den folgenden Satz charakterisiert:

Der homogene Funktionssatz von Euler  —  Nehmen wir an, die Funktion sei stetig differenzierbar . Dann ist genau dann positiv homogen vom Grad, wenn ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x}).}$$

Beweis  —

Dieses Ergebnis folgt sofort durch beide Seiten der Gleichung Differenzierung in Bezug auf die Anwendung der Kettenregel , und die Wahl zu sein${\displaystyle f(\alpha y)=\alpha^{k}f(y)}$${\displaystyle\alpha,}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle 1.}$

Die Umkehrung wird durch Integrieren bewiesen. Konkret sei seit${\textstyle g(\alpha)=f(\alpha\mathbf{x}).}$${\textstyle \alpha\mathbf{x}\cdot\nabla f(\alpha\mathbf{x})=kf(\alpha\mathbf{x}),}$

${\displaystyle g'(\alpha)=\mathbf{x}\cdot\nabla f(\alpha\mathbf{x})={\frac{k}{\alpha}}f(\alpha\mathbf{x} )={\frac{k}{\alpha}}g(\alpha).}$

Somit bedeutet dies daher : ist positiv homogen vom Grad${\textstyle g^{\prime}(\alpha)-{\frac {k}{\alpha}}g(\alpha)=0.}$${\textstyle g(\alpha)=g(1)\alpha^{k}.}$${\textstyle f(\alpha\mathbf{x})=g(\alpha)=\alpha^{k}g(1)=\alpha^{k}f(\mathbf{x})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k.}$

Als Folge wird angenommen , dass ist

differenzierbare und homogene gradueller Dann seine erster Ordnung partiellen Ableitungen sind homogen gradueller Das Ergebnis der Euler-Theorem folgt , indem der Bediener das Pendeln mit der partiellen Ableitung. ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\displaystyle k-1.}$${\displaystyle\mathbf{x}\cdot\nabla}$

Man kann den Satz auf den Fall einer Funktion einer einzelnen reellen Variablen ( ) spezialisieren, in welchem ​​Fall die Funktion die

gewöhnliche Differentialgleichung erfüllt${\displaystyle n=1}$ Diese Gleichung kann unter Verwendung eines lösende integrierender Faktor Ansatz, mit einer Lösung , wo${\textstyle f(x)=cx^{k},}$${\displaystyle c=f(1).}$

Homogene Verteilungen

Eine stetige Funktion auf ist genau dann gradhomogen, wenn ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle k}$

für alle kompakt unterstützten Testfunktionen ; und von Null verschiedenen echten Gleichwertig einen machen Wechsel Variable ist homogen vom Grad , wenn und nur wenn ${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R}^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t ^{k}\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\varphi(y)\,dy}$$

für alle Testfunktionen Die letzte Anzeige ermöglicht es, die Homogenität der Verteilungen zu definieren . Eine Verteilung ist gradhomogen, wenn ${\displaystyle t}$${\displaystyle\varphi.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi\circ\mu_{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi\rangle}$$

für alle reellen und alle Testfunktionen ungleich Null Hier bezeichnen die spitzen Klammern die Paarung zwischen Verteilungen und Testfunktionen und sind die Abbildung der skalaren Division durch die reelle Zahl${\displaystyle t}$${\displaystyle\varphi.}$${\displaystyle \mu_{t}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle t.}$

Anwendung auf Differentialgleichungen

Hauptartikel: Homogene Differentialgleichung

Die Substitution wandelt die

gewöhnliche Differentialgleichung${\displaystyle v=y/x}$ wobei und homogene Funktionen gleichen Grades sind, in die separierbare Differentialgleichung${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Siehe auch

• Produktionsfunktion
• Dreieck-Mitte-Funktion
• Elliptische Funktion  von Weierstraß – Klasse mathematischer Funktionen

Anmerkungen

Beweise

Verweise

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analyse II (2. Aufl.) (in deutscher Sprache). Springer-Verlag. P. 188. ISBN 3-540-09484-9.

Externe Links

• "Homogene Funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Homogener Funktionssatz von Euler" . MathWorld .