Zero al unei funcții - Zero of a function

Un grafic al funcției pentru în , cu zerouri la , și marcat cu roșu . ${\ displaystyle \ cos (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ left [-2 \ pi, 2 \ pi \ right]}$${\ displaystyle - {\ tfrac {3 \ pi} {2}}, \; - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \; {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3 \ pi} {2}},}$

În matematică , un zero , ( de asemenea , numit uneori o rădăcină ) a unui adevărat -, complex - sau în general funcția de prim rang-vector , este un membru al domeniului de astfel încât se anulează la ; adică funcția atinge valoarea 0 la sau, în mod echivalent, este soluția la ecuație . Un "zero" al unei funcții este astfel o valoare de intrare care produce o ieșire de 0. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) = 0}$

O rădăcină a unui polinom este un zero al funcției polinomiale corespunzătoare . Teorema fundamentală a algebrei arată că orice nenul polinomială are un număr de rădăcini cel mult egal cu său grad , și că numărul de rădăcini și gradul sunt egale atunci când se consideră rădăcinile complexe (sau mai general, rădăcinile într - un extensie închisă algebric ) numărată cu multiplicitățile lor . De exemplu, polinomul de gradul doi, definit de ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -5x + 6}$

are cele două rădăcini și , din moment ce ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 3}$

${\ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} -5 \ cdot 2 + 6 = 0 \ quad {\ textrm {and}} \ quad f (3) = 3 ^ {2} -5 \ cdot 3 + 6 = 0}$.

Dacă funcția mapează numerele reale la numerele reale, atunci zerourile sale sunt coordonatele punctelor în care graficul său îndeplinește axa x . Un nume alternativ pentru un astfel de punct în acest context este un -intercept. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (x, 0)}$${\ displaystyle x}$

Soluția unei ecuații

Fiecare ecuație din necunoscut poate fi rescrisă ca ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f (x) = 0}$

prin regruparea tuturor termenilor din partea stângă. Rezultă că soluțiile unei astfel de ecuații sunt exact zerourile funcției . Cu alte cuvinte, un „zero al unei funcții” este tocmai o „soluție a ecuației obținută prin echivalarea funcției la 0”, iar studiul zerourilor funcțiilor este exact același cu studiul soluțiilor ecuațiilor. ${\ displaystyle f}$

Rădăcini polinomiale

Fiecare polinom real de grad impar are un număr impar de rădăcini reale (numărând multiplicități ); la fel, un polinom real de grad par trebuie să aibă un număr par de rădăcini reale. În consecință, polinoamele impare reale trebuie să aibă cel puțin o rădăcină reală (deoarece cel mai mic număr întreg impar este 1), în timp ce polinoamele pare pot să nu aibă niciuna. Acest principiu poate fi dovedit prin referire la teorema valorii intermediare : deoarece funcțiile polinomiale sunt continue , valoarea funcției trebuie să treacă de zero, în procesul de schimbare de la negativ la pozitiv sau invers (ceea ce se întâmplă întotdeauna pentru funcțiile impare).

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că fiecare polinom de grad are rădăcini complexe, numărate cu multiplicitățile lor. Rădăcinile nereale ale polinoamelor cu coeficienți reali vin în perechi conjugate . Formulele lui Vieta raportează coeficienții unui polinom la sumele și produsele rădăcinilor sale. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Rădăcini de calcul

Calculul rădăcinilor funcțiilor, de exemplu funcțiile polinomiale , necesită frecvent utilizarea unor tehnici specializate sau de aproximare (de exemplu, metoda lui Newton ). Cu toate acestea, unele funcții polinomiale, inclusiv toate cele de grad nu mai mare de 4, pot avea toate rădăcinile exprimate algebric în termeni de coeficienți (pentru mai multe, a se vedea soluția algebrică ).

Set zero

În diferite domenii ale matematicii, setul zero al unei funcții este setul tuturor zerourilor sale. Mai precis, dacă este o funcție cu valoare reală (sau, mai general, o funcție care ia valori într-un grup aditiv ), setul său zero este , imaginea inversă a in . ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$

Termenul set de zero este, în general, utilizat atunci când există infinit de multe zerouri și au unele proprietăți topologice non-banale . De exemplu, un set de nivel al unei funcții este setul zero al . Setul cozero al este complementul setului zero al (adică, subsetul căruia este diferit de zero). ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle fc}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

Aplicații

În geometria algebrică , prima definiție a unei varietăți algebrice este prin seturi zero. Mai exact, un set algebric afin este intersecția seturilor zero a mai multor polinoame, într-un inel polinomial peste un câmp . În acest context, un set zero este uneori numit locus zero . ${\ displaystyle k \ left [x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right]}$

În analiză și geometrie , orice subset închis al este setul zero al unei funcții netede definite pe toate . Acest lucru se extinde la orice colector neted ca un corolar al paracompactității . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

În geometria diferențială , seturile zero sunt frecvent utilizate pentru a defini varietăți . Un caz special important este cazul care este o funcție lină de la . Dacă zero este o valoare regulată a , atunci setul zero al este o varietate netă de dimensiune prin teorema valorii regulate . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m = pn}$

De exemplu, unitatea - sfera din este setul zero al funcției cu valoare reală . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m + 1}}$${\ displaystyle f (x) = \ Vert x \ Vert ^ {2} -1}$

Vezi si

• Teorema lui Marden
• Algoritm de găsire a rădăcinilor
• Conjectura lui Sendov
• Dispare la infinit
• Trecere zero
• Zero și stâlpi

Referințe

Lecturi suplimentare

• Weisstein, Eric W. „Rădăcină” . MathWorld .