Distribuição lambda de Tukey - Tukey lambda distribution

Distribuição lambda de Tukey

Função densidade de probabilidade
Notação	Tukey ( λ )
Parâmetros	λ ∈ R - parâmetro de forma
Apoio, suporte	x ∈ [−1 / λ , 1 / λ ] para λ  > 0, x ∈ R para λ  ≤ 0
PDF	${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), q (p; \ lambda) ^ {- 1}), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1}$
CDF	${\ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, \, \, \ lambda \, = \, 0 \,}$ (caso especial) (caso geral) ${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), p), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1 \,}$
Significar	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1}$
Mediana	0
Modo	0
Variância	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}, \, \, \ lambda> -1/2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}}, \, \, \ lambda \, = \, 0}$
Skewness	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1/3}$
Ex. curtose	${\ displaystyle {\ frac {(2 \ lambda +1) ^ {2}} {2 (4 \ lambda +1)}} \, {\ frac {g_ {2} ^ {2} {\ big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} {\ big)}} {g_ {4} {\ big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} {\ big)} ^ {2}}} \, - \, 3,}$ ${\ displaystyle 1.2, \, \, \ lambda \, = \, 0,}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} \, g_ {k} \, = \, \ Gamma (k \ lambda +1) \, {\ text {and}} \, \ lambda \,> \, - 1 / 4.}$
Entropia	${\ displaystyle h (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ log (q (p; \ lambda)) \, dp}$
CF	${\ displaystyle \ phi (t; \ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp}$

Formalizada por John Tukey , a distribuição lambda de Tukey é uma distribuição de probabilidade simétrica e contínua definida em termos de sua função quantílica . Normalmente é usado para identificar uma distribuição apropriada (veja os comentários abaixo) e não é usado diretamente em modelos estatísticos .

A distribuição lambda de Tukey tem um único parâmetro de forma , λ e, como acontece com outras distribuições de probabilidade, pode ser transformada com um parâmetro de localização , μ, e um parâmetro de escala , σ. Uma vez que a forma geral de distribuição de probabilidade pode ser expressa em termos da distribuição padrão, as fórmulas subsequentes são fornecidas para a forma padrão da função.

Função quantil

Para a forma padrão da distribuição lambda de Tukey, a função de quantil (ou seja, a função inversa para a função de distribuição cumulativa ) e a função de densidade de quantil ( são ${\ displaystyle ~ Q (p) ~,}$${\ displaystyle ~ q = \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~}$

${\ displaystyle Q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ lambda}} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] ~, & {\ mbox {if}} \ lambda \ neq 0 ~, \\\ log ({\ frac {p} {1-p}}) ~, & {\ mbox {if }} \ lambda = 0 ~. \ end {casos}}}$

${\ displaystyle q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~ = ~ p ^ {(\ lambda -1)} + \ left (1-p \ right) ^ {(\ lambda -1)} ~.}$

Para a maioria dos valores do parâmetro de forma, λ , a função de densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição cumulativa (CDF) devem ser calculadas numericamente. A distribuição Tukey lambda tem uma forma simples e fechada para o CDF e / ou PDF apenas para alguns valores excepcionais do parâmetro de forma, por exemplo: λ ∈ {2, 1, 1 / 2 , 0} (ver distribuição uniforme [caso λ = 1] e a distribuição logística [caso λ = 0]).

No entanto, para qualquer valor de λ, tanto o CDF quanto o PDF podem ser tabulados para qualquer número de probabilidades cumulativas, p , usando a função de quantil Q para calcular o valor x , para cada probabilidade cumulativa p , com a densidade de probabilidade dada por 1 / q , o recíproco da função de densidade de quantil. Como é o caso usual com distribuições estatísticas, a distribuição lambda de Tukey pode ser prontamente usada procurando os valores em uma tabela preparada.

Momentos

A distribuição lambda de Tukey é simétrica em torno de zero, portanto o valor esperado dessa distribuição é igual a zero. A variação existe para λ > - 1 / 2 e é dado pela fórmula (exceto quando λ = 0)

${\ displaystyle \ operatorname {Var} [X] = {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}.}$

Mais geralmente, o momento de ordem n é finito quando λ > -1 / n e é expresso em termos da função beta Β ( x , y ) (exceto quando λ = 0):

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operatorname {E} [X ^ {n}] = {\ frac {1} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ escolha k} \, \ mathrm {B} (\ lambda k + 1, \, \ lambda (nk) +1).}$

Observe que, devido à simetria da função de densidade, todos os momentos de ordens ímpares são iguais a zero.

Momentos L

Diferentemente dos momentos centrais, os momentos L podem ser expressos de forma fechada. O momento L de ordem r> 1 é dado por

${\ displaystyle L_ {r} = {\ frac {\ left [1 + (- 1) ^ {r} \ right]} {\ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} {\ binom {r-1} {k}} {\ binom {r + k-1} {k}} \ left ({\ frac {1} {k + 1 + \ lambda}} \ right).}$

Os primeiros seis momentos L podem ser apresentados da seguinte forma:

${\ displaystyle L_ {1} = 0}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {2} {2+ \ lambda}} \direita]}$

${\ displaystyle L_ {3} = 0}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {12} {2+ \ lambda}} - {\ frac {30} {3+ \ lambda}} + {\ frac {30} {4+ \ lambda}} \ right]}$

${\ displaystyle L_ {5} = 0}$

${\ displaystyle L_ {6} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {30} {2+ \ lambda}} - {\ frac {210} {3+ \ lambda}} + {\ frac {560} {4+ \ lambda}} - {\ frac {630} {5+ \ lambda}} + {\ frac {252} { 6+ \ lambda}} \ right] \ ,.}$

Comentários

A distribuição lambda de Tukey é, na verdade, uma família de distribuições que pode se aproximar de várias distribuições comuns. Por exemplo,

λ = −1	Aproximadamente. Cauchy C (0, π )
λ = 0	exatamente logístico
λ = 0,14	Aproximadamente. N normal (0, 2,142)
λ = 0,5	estritamente côncavo ( em forma de) ${\ displaystyle \ cap}$
λ = 1	exatamente uniforme U (-1, 1)
λ = 2	exatamente uniforme U (- 1 / 2 , 1 / 2 )

O uso mais comum dessa distribuição é gerar um gráfico Tukey lambda PPCC de um conjunto de dados . Com base no gráfico PPCC , um modelo apropriado para os dados é sugerido. Por exemplo, se o melhor ajuste da curva aos dados ocorre para um valor de λ igual ou próximo a 0,14, então os dados podem ser bem modelados com uma distribuição normal. Valores de λ menores que 0,14 sugerem uma distribuição de cauda mais pesada; um poste de milha em λ = 0 (logístico) indicaria caudas bastante grossas, com o limite extremo em λ = −1, aproximando-se de Cauchy. Ou seja, como o valor de melhor ajuste de λ varia de 0,14 a -1, sugere-se um PDF em forma de sino com caudas cada vez mais pesadas. Da mesma forma, para um valor ótimo de λ torna-se maior que 0,14 sugere uma distribuição com caudas excepcionalmente finas (com base no ponto de vista de que a própria distribuição normal é de cauda fina para começar).

Exceto para valores de λ muito próximos de 0, todas as funções de PDF sugeridas têm suporte finito , entre   -1   / | λ |   e   +1   / | λ |  .

Como a distribuição lambda de Tukey é uma distribuição simétrica , o uso do gráfico PPCC de Tukey lambda para determinar uma distribuição razoável para modelar os dados só se aplica a distribuições simétricas. Um histograma dos dados deve fornecer evidências de se os dados podem ser modelados razoavelmente com uma distribuição simétrica.

Referências

links externos

• "1.3.6.6.15 - Distribuição Tukey-Lambda" . Galeria de distribuições. Manual de estatísticas de engenharia. US NIST - Laboratório de Tecnologia da Informação. EDA 366F.

 Este artigo incorpora  material em domínio público do Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia website https://www.nist.gov .