Tukey lambda distribution - Tukey lambda distribution

Tukey lambda distribution

Sannolikhetsdensitetsfunktion
Notation	Tukey ( λ )
Parametrar	λ ∈ R - formparameter
Stöd	x ∈ [−1 / λ , 1 / λ ] för λ  > 0, x ∈ R för λ  ≤ 0
PDF	${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), q (p; \ lambda) ^ {- 1}), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1}$
CDF	${\ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, \, \, \ lambda \, = \, 0 \,}$ (specialfall) (allmänt fall) ${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), p), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1 \,}$
Betyda	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1}$
Median	0
Läge	0
Variation	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}, \, \, \ lambda> -1/2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}}, \, \, \ lambda \, = \, 0}$
Skevhet	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1/3}$
Ex. kurtos	${\ displaystyle {\ frac {(2 \ lambda +1) ^ {2}} {2 (4 \ lambda +1)}} \, {\ frac {g_ {2} ^ {2} {\ big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} {\ big)}} {g_ {4} {\ big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} {\ big)} ^ {2}}} \, - \, 3,}$ ${\ displaystyle 1.2, \, \, \ lambda \, = \, 0,}$ ${\ displaystyle {\ text {där}} \, g_ {k} \, = \, \ Gamma (k \ lambda +1) \, {\ text {och}} \, \ lambda \,> \, - 1 / 4.}$
Entropi	${\ displaystyle h (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ log (q (p; \ lambda)) \, dp}$
CF	${\ displaystyle \ phi (t; \ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp}$

Formerad av John Tukey , är Tukey-lambdafördelningen en kontinuerlig, symmetrisk sannolikhetsfördelning definierad i termer av dess kvantilfunktion . Det används vanligtvis för att identifiera en lämplig distribution (se kommentarerna nedan) och används inte direkt i statistiska modeller .

Tukey-lambdafördelningen har en enda formparameter , λ, och som med andra sannolikhetsfördelningar kan den transformeras med en platsparameter , μ och en skalparameter , σ. Eftersom den allmänna formen av sannolikhetsfördelning kan uttryckas i termer av standardfördelningen ges följande formler för funktionens standardform.

Kvantilfunktion

För standardformen för Tukey-lambdafördelningen är kvantilfunktionen (dvs. den inversa funktionen till den kumulativa fördelningsfunktionen ) och kvantidensitetsfunktionen ( är ${\ displaystyle ~ Q (p) ~,}$${\ displaystyle ~ q = \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~}$

${\ displaystyle Q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ lambda}} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] ~, & {\ mbox {if}} \ lambda \ neq 0 ~, \\\ log ({\ frac {p} {1-p}}) ~, & {\ mbox {if }} \ lambda = 0 ~. \ end {cases}}}$

${\ displaystyle q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~ = ~ p ^ {(\ lambda -1)} + \ left (1-p \ höger) ^ {(\ lambda -1)} ~.}$

För de flesta värdena för formparametern, λ , måste sannolikhetsdensitetsfunktionen (PDF) och den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) beräknas numeriskt. Tukey-lambdafördelningen har en enkel, sluten form för CDF och / eller PDF endast för några få exceptionella värden för formparametern, till exempel: λ ∈ {2, 1, 1 / 2 , 0} (se enhetlig fördelning [fall λ = 1] och logistisk fördelning [fall λ = 0]).

Men för vilket värde som helst av λ kan både CDF och PDF tabelleras för valfritt antal kumulativa sannolikheter, p , med kvantilfunktionen Q för att beräkna värdet x , för varje kumulativ sannolikhet p , med sannolikhetstätheten som ges av 1 / q , den ömsesidiga funktionen för kvantitetsdensitet. Som vanligt är fallet med statistiska fördelningar kan Tukey-lambdafördelningen lätt användas genom att slå upp värden i en beredd tabell.

Ögonblick

Tukey-lambdafördelningen är symmetrisk runt noll, därför är det förväntade värdet på denna fördelning lika med noll. Variansen finns för λ > - 1 / 2 och ges med formeln (utom när λ = 0)

${\ displaystyle \ operatorname {Var} [X] = {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}.}$

Mer allmänt är n- ordningens ögonblick ändligt när λ > −1 / n och uttrycks i termer av beta-funktionen Β ( x , y ) (utom när λ = 0):

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operatorname {E} [X ^ {n}] = {\ frac {1} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ välj k} \, \ mathrm {B} (\ lambda k + 1, \, \ lambda (nk) +1).}$

Observera att på grund av symmetri för densitetsfunktionen är alla ögonblick med udda ordningar lika med noll.

L-ögonblick

Till skillnad från de centrala ögonblicken kan L-ögonblicken uttryckas i en sluten form. L-ordningens ögonblick r> 1 ges av

${\ displaystyle L_ {r} = {\ frac {\ left [1 + (- 1) ^ {r} \ right]} {\ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} {\ binom {r-1} {k}} {\ binom {r + k-1} {k}} \ vänster ({\ frac {1} {k + 1 + \ lambda}} \ höger).}$

De sex första L-ögonblicken kan presenteras enligt följande:

${\ displaystyle L_ {1} = 0}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vänster [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {2} {2+ \ lambda}} \rätt]}$

${\ displaystyle L_ {3} = 0}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vänster [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {12} {2+ \ lambda}} - {\ frac {30} {3+ \ lambda}} + {\ frac {30} {4+ \ lambda}} \ höger]}$

${\ displaystyle L_ {5} = 0}$

${\ displaystyle L_ {6} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vänster [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {30} {2+ \ lambda}} - {\ frac {210} {3+ \ lambda}} + {\ frac {560} {4+ \ lambda}} - {\ frac {630} {5+ \ lambda}} + {\ frac {252} { 6+ \ lambda}} \ höger] \ ,.}$

Kommentarer

Tukey-lambdafördelningen är faktiskt en familj av distributioner som kan approximera ett antal vanliga distributioner. Till exempel,

λ = −1	cirka. Cauchy C (0, π )
λ = 0	exakt logistisk
A = 0,14	cirka. normal N (0, 2.142)
λ = 0,5	strikt konkav ( -formad) ${\ displaystyle \ cap}$
λ = 1	exakt enhetlig U (−1, 1)
λ = 2	exakt enhetlig U (- 1 / 2 , 1 / 2 )

Den vanligaste användningen av denna fördelning är att generera en Tukey lambda PPCC plot av en datamängd . Baserat på PPCC-plot föreslås en lämplig modell för data. Till exempel, om den bästa anpassningen av kurvan till data inträffar för ett värde av λ vid eller nära 0,14, kan data modelleras väl med en normalfördelning. Värden på λ mindre än 0,14 antyder en tyngre-tailed fördelning; en milstolpe vid λ = 0 (logistisk) skulle indikera ganska feta svansar, med den extrema gränsen vid λ = −1, ungefärligt cauchy. Eftersom det bästa passningsvärdet för λ varierar från 0,14 till −1, föreslås en klockformad PDF med alltmer tunga svansar. På samma sätt föreslås för ett optimalt värde av λ större än 0,14 en fördelning med exceptionellt tunna svansar (baserat på synvinkeln att själva normalfördelningen är tunnstjärtad till att börja med).

Med undantag för värdena λ mycket nära 0, har alla föreslagna PDF-funktioner begränsat stöd , mellan   −1   / | λ |   och   +1   / | λ |  .

Eftersom Tukey-lambdafördelningen är en symmetrisk fördelning gäller användningen av Tukey lambda PPCC-plot för att bestämma en rimlig fördelning för att modellera data endast symmetriska fördelningar. Ett histogram av uppgifterna bör ge bevis för huruvida uppgifterna rimligen kan modelleras med en symmetrisk fördelning.

Referenser

externa länkar

• "1.3.6.6.15 - Tukey-Lambda-distribution" . Distributionsgalleri. Handbok för teknisk statistik. US NIST - Information Technology Laboratory. EDA 366F.

 Den här artikeln innehåller  material från allmänheten från webbplatsen National Institute of Standards and Technology https://www.nist.gov .