Tukey lambda jakelu - Tukey lambda distribution

Tukey lambda -jakelu

Todennäköisyystiheysfunktio
Merkintä	Tukey ( λ )
Parametrit	λ ∈ R - muodon parametri
Tuki	x ∈ [-1 / À , 1 / À ] ja À  > 0, x ∈ R varten À  ≤ 0
PDF	${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), q (p; \ lambda) ^ {- 1}), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1}$
CDF	${\ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, \, \, \ lambda \, = \, 0 \,}$ (erikoistapaus) (yleinen tapaus) ${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), p), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1 \,}$
Tarkoittaa	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1}$
Mediaani	0
Tila	0
Varianssi	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}, \, \, \ lambda> -1/2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}}, \, \, \ lambda \, = \, 0}$
Vinous	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1/3}$
Esim. kurtosis	${\ displaystyle {\ frac {(2 \ lambda +1) ^ {2}} {2 (4 \ lambda +1)}} \, {\ frac {g_ {2} ^ {2} {\ iso (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} {\ iso)}} {g_ {4} {\ iso (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} {\ iso)} ^ {2}}} \, - \, 3,}$ ${\ displaystyle 1.2, \, \, \ lambda \, = \, 0,}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} \, g_ {k} \, = \, \ Gamma (k \ lambda +1) \, {\ text {ja}} \, \ lambda \,> \, - 1 / 4.}$
Haje	${\ displaystyle h (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ log (q (p; \ lambda)) \, dp}$
CF	${\ displaystyle \ phi (t; \ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp}$

Virallistaa John Tukey , Tukeyn lambda jakauma on jatkuva, symmetrinen todennäköisyysjakauma määritellään sen kvantiiliresiduaalien toiminto . Sitä käytetään tyypillisesti sopivan jakauman tunnistamiseen (katso alla olevat kommentit) eikä sitä käytetä suoraan tilastollisissa malleissa .

Tukey-lambda-jakaumalla on yksi muodon parametri λ, ja kuten muillakin todennäköisyysjakaumilla, se voidaan muuntaa sijaintiparametrilla μ ja asteikon parametrilla σ. Koska todennäköisyysjakauman yleinen muoto voidaan ilmaista standardijakaumana, seuraavat kaavat annetaan funktion vakiomuodolle.

Kvantiilitoiminto

Tukey-lambda-jakauman vakiomuodossa kvantiilifunktio (ts. Kumulatiivisen jakauman funktion käänteisfunktio ) ja kvantiilitiheysfunktio ( ovat ${\ displaystyle ~ Q (p) ~,}$${\ displaystyle ~ q = \ operaattorin nimi {d} Q / \ operaattorin nimi {d} p ~}$

${\ displaystyle Q \ vasen (p; \ lambda \ oikea) ~ = ~ {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ lambda}} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] ~, ja {\ mbox {if}} \ lambda \ neq 0 ~, \\\ loki ({\ frac {p} {1-p}}) ~ ja {\ mbox {jos }} \ lambda = 0 ~. \ loppu {tapaukset}}}$

${\ displaystyle q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ \ operaattorin nimi {d} Q / \ operaattorin nimi {d} p ~ = ~ p ^ {(\ lambda -1)} + \ vasen (1-p \ oikea) ^ {(\ lambda -1)} ~.}$

Useimmat arvot muotoparametri, λ , todennäköisyyden tiheysfunktio (PDF) ja kertymäfunktio (CDF) täytyy laskea numeerisesti. Tukey lambda -jakelulla on yksinkertainen, suljettu muoto CDF: lle ja / tai PDF: lle vain muutamalle muotoparametrin poikkeukselliselle arvolle, esimerkiksi: λ ∈ {2, 1, 1 / 2 , 0} (katso tasainen jakauma [tapaus λ = 1] ja logistinen jakauma [tapaus λ = 0]).

Kuitenkin mille tahansa λ- arvolle sekä CDF että PDF voidaan taulukoida mihin tahansa määrään kumulatiivisia todennäköisyyksiä, p , käyttämällä kvantiilitoimintoa Q arvon x laskemiseksi kullekin kumulatiiviselle todennäköisyydelle p , jonka todennäköisyystiheys on 1 / q , kvantiilitiheysfunktion vastavuoro. Kuten tavanomaisessa tilastollisessa jakaumassa, Tukey lambda -jakaumaa voidaan helposti käyttää etsimällä arvoja valmiista taulukosta.

Hetkiä

Tukey-lambda-jakauma on symmetrinen nollan ympärillä, joten tämän jakauman odotettu arvo on yhtä suuri kuin nolla. Varianssi on olemassa λ > - 1 / 2 ja saadaan kaavalla (paitsi kun λ = 0)

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Var} [X] = {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}.}$

Yleisemmin n: s kertamomentti on äärellinen, kun λ > −1 / n ja ilmaistaan beetafunktiona Β ( x , y ) (paitsi kun λ = 0):

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operaattorin nimi {E} [X ^ {n}] = {\ frac {1} {\ lambda ^ {n}}} \ summa _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ valitse k} \, \ mathrm {B} (\ lambda k + 1, \, \ lambda (nk) +1).}$

Huomaa, että tiheysfunktion symmetrian vuoksi kaikki parittomien järjestysten momentit ovat yhtä suuret kuin nolla.

L-hetkiä

Keskeisistä hetkistä poiketen L-momentit voidaan ilmaista suljetussa muodossa. L-momentti r> 1 saadaan laskemalla

${\ displaystyle L_ {r} = {\ frac {\ vasen [1 + (- 1) ^ {r} \ oikea]} {\ lambda}} \ summa _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} {\ binom {r-1} {k}} {\ binom {r + k-1} {k}} \ vasen ({\ frac {1} {k + 1 + \ lambda}} \ oikea).}$

Ensimmäiset kuusi L-momenttia voidaan esittää seuraavasti:

${\ displaystyle L_ {1} = 0}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vasen [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {2} {2+ \ lambda}} \ oikea]}$

${\ displaystyle L_ {3} = 0}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vasen [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {12} {2+ \ lambda}} - {\ frac {30} {3+ \ lambda}} + {\ frac {30} {4+ \ lambda}} \ oikea]}$

${\ displaystyle L_ {5} = 0}$

${\ displaystyle L_ {6} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ vasen [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {30} {2+ \ lambda}} - {\ frac {210} {3+ \ lambda}} + {\ frac {560} {4+ \ lambda}} - {\ frac {630} {5+ \ lambda}} + {\ frac {252} { 6+ \ lambda}} \ oikea] \ ,.}$

Kommentit

Tukey lambda -jakauma on itse asiassa jakeluperhe, joka voi likimääräisen määrän yleisiä jakaumia. Esimerkiksi,

λ = −1	noin Cauchy C (0, π )
λ = 0	täsmälleen logistinen
λ = 0,14	noin normaali N (0, 2,142)
X = 0,5	tiukasti kovera ( -muotoinen) ${\ displaystyle \ cap}$
λ = 1	täsmälleen yhtenäinen U (−1, 1)
λ = 2	täsmälleen yhtenäinen U (- 1 / 2 , 1 / 2 )

Yleisin käyttää tätä jakelun on luoda Tukeyn lambda PPCC juoni on datajoukon . Perustuu PPCC tontille , sopivan mallin tiedoille ehdotetaan. Esimerkiksi, jos käyrän parhaiten sovittaminen dataan tapahtuu arvolle λ 0,14 tai lähellä sitä, data voidaan hyvin mallintaa normaalijakaumalla. Arvot λ alle 0,14 viittaavat raskaampaan jakautumiseen; kilometripiste λ = 0 (logistinen) osoittaisi melko rasvaisia ​​pyrstöjä, äärimmäisen rajan ollessa λ = −1, likimääräisen Cauchyn. Toisin sanoen, koska λ: n parhaiten sopiva arvo vaihtelee välillä 0,14 - -1, suositellaan kellonmuotoista PDF-tiedostoa, jonka hännät ovat yhä raskaampia. Samoin, kun optimaalinen arvo λ muuttuu suuremmaksi kuin 0,14, ehdottaa jakaumaa poikkeuksellisen ohuilla pyrstöillä (perustuen näkökulmaan, jonka mukaan normaali jakauma itsessään on aluksi ohut pyrstö).

Lukuun ottamatta arvoja λ, jotka ovat hyvin lähellä nollaa , kaikilla ehdotetuilla PDF-toiminnoilla on rajallinen tuki välillä   −1   / | λ |   ja   +1   / | λ |  .

Koska Tukey lambda -jakauma on symmetrinen jakauma, Tukey lambda PPCC -piirturin käyttö kohtuullisen jakauman määrittämiseksi tietojen mallintamiseksi koskee vain symmetrisiä jakaumia. Histogrammi Tiedot olisi esitettävä todisteet siitä, onko tiedot voidaan kohtuudella mallintaa symmetrisen jakautumisen.

Viitteet

Ulkoiset linkit

• "1.3.6.6.15 - Tukey-Lambda-jakelu" . Jakelugalleria. Suunnittelutilastojen käsikirja. US NIST - tietotekniikan laboratorio. EDA 366F.

 Tämä artikkeli sisältää  julkista aineistoa päässä National Institute of Standards and Technology verkkosivuilla https://www.nist.gov .