Tukey distribuzione lambda - Tukey lambda distribution

Tukey lambda distribuzione

Densità di probabilità
Notazione	Tukey ( λ )
Parametri	λ ∈ R - parametro di forma
Supporto	x ∈ [−1 / λ , 1 / λ ] per λ  > 0, x ∈ R per λ  ≤ 0
PDF	${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), q (p; \ lambda) ^ {- 1}), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1}$
CDF	${\ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, \, \, \ lambda \, = \, 0 \,}$ (caso speciale) (caso generale) ${\ displaystyle (Q (p; \ lambda), p), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1 \,}$
Significare	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1}$
Mediano	0
Modalità	0
Varianza	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}, \, \, \ lambda> -1/2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}}, \, \, \ lambda \, = \, 0}$
Asimmetria	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1/3}$
Ex. curtosi	${\ displaystyle {\ frac {(2 \ lambda +1) ^ {2}} {2 (4 \ lambda +1)}} \, {\ frac {g_ {2} ^ {2} {\ big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} {\ big)}} {g_ {4} {\ big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} {\ big)} ^ {2}}} \, - \, 3,}$ ${\ displaystyle 1.2, \, \, \ lambda \, = \, 0,}$ ${\ displaystyle {\ text {dove}} \, g_ {k} \, = \, \ Gamma (k \ lambda +1) \, {\ text {e}} \, \ lambda \,> \, - 1 / 4.}$
Entropia	${\ displaystyle h (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ log (q (p; \ lambda)) \, dp}$
CF	${\ displaystyle \ phi (t; \ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp}$

Formalizzata da John Tukey , la distribuzione lambda di Tukey è una distribuzione di probabilità continua e simmetrica definita in termini della sua funzione quantile . Viene tipicamente utilizzato per identificare una distribuzione appropriata (vedere i commenti di seguito) e non viene utilizzato direttamente nei modelli statistici .

La distribuzione lambda di Tukey ha un singolo parametro di forma , λ, e come con altre distribuzioni di probabilità, può essere trasformata con un parametro di posizione , μ, e un parametro di scala , σ. Poiché la forma generale di distribuzione di probabilità può essere espressa in termini di distribuzione standard, le formule successive sono fornite per la forma standard della funzione.

Funzione quantile

Per la forma standard della distribuzione lambda di Tukey, la funzione quantile, (cioè la funzione inversa alla funzione di distribuzione cumulativa ) e la funzione di densità quantile ( sono ${\ displaystyle ~ Q (p) ~,}$${\ displaystyle ~ q = \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~}$

${\ Displaystyle Q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ {\ begin {case} {\ frac {1} {\ lambda}} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] ~, & {\ mbox {if}} \ lambda \ neq 0 ~, \\\ log ({\ frac {p} {1-p}}) ~, & {\ mbox {if }} \ lambda = 0 ~. \ end {case}}}$

${\ Displaystyle q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ \ operatorname {d} Q / \ operatorname {d} p ~ = ~ p ^ {(\ lambda -1)} + \ left (1-p \ right) ^ {(\ lambda -1)} ~.}$

Per la maggior parte dei valori del parametro di forma, λ , la funzione di densità di probabilità (PDF) e la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) devono essere calcolate numericamente. La distribuzione lambda di Tukey ha una forma semplice e chiusa per CDF e / o PDF solo per alcuni valori eccezionali del parametro di forma, ad esempio: λ ∈ {2, 1, 1 / 2 , 0} (vedi distribuzione uniforme [caso λ = 1] e distribuzione logistica [caso λ = 0]).

Tuttavia, per qualsiasi valore di λ sia il CDF che il PDF possono essere tabulati per qualsiasi numero di probabilità cumulative, p , utilizzando la funzione quantile Q per calcolare il valore x , per ciascuna probabilità cumulativa p , con la densità di probabilità data da 1 / q , il reciproco della funzione di densità quantile. Come nel solito caso con le distribuzioni statistiche, la distribuzione lambda di Tukey può essere facilmente utilizzata cercando i valori in una tabella preparata.

Momenti

La distribuzione lambda di Tukey è simmetrica intorno allo zero, quindi il valore atteso di questa distribuzione è uguale a zero. La varianza esiste per λ > - 1 / 2 ed è dato dalla formula (tranne quando λ = 0)

${\ displaystyle \ operatorname {Var} [X] = {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}.}$

Più in generale, il momento di ordine n è finito quando λ > −1 / n ed è espresso in termini della funzione beta Β ( x , y ) (tranne quando λ = 0):

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operatorname {E} [X ^ {n}] = {\ frac {1} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ scegli k} \, \ mathrm {B} (\ lambda k + 1, \, \ lambda (nk) +1).}$

Si noti che a causa della simmetria della funzione di densità, tutti i momenti di ordini dispari sono uguali a zero.

Momenti L

A differenza dei momenti centrali, i momenti L possono essere espressi in una forma chiusa. Il momento L di ordine r> 1 è dato da

${\ displaystyle L_ {r} = {\ frac {\ left [1 + (- 1) ^ {r} \ right]} {\ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} {\ binom {r-1} {k}} {\ binom {r + k-1} {k}} \ left ({\ frac {1} {k + 1 + \ lambda}} \ right).}$

I primi sei momenti L possono essere presentati come segue:

${\ displaystyle L_ {1} = 0}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {2} {2+ \ lambda}} \giusto]}$

${\ displaystyle L_ {3} = 0}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {12} {2+ \ lambda}} - {\ frac {30} {3+ \ lambda}} + {\ frac {30} {4+ \ lambda}} \ right]}$

${\ displaystyle L_ {5} = 0}$

${\ displaystyle L_ {6} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {30} {2+ \ lambda}} - {\ frac {210} {3+ \ lambda}} + {\ frac {560} {4+ \ lambda}} - {\ frac {630} {5+ \ lambda}} + {\ frac {252} { 6+ \ lambda}} \ right] \ ,.}$

Commenti

La distribuzione lambda di Tukey è in realtà una famiglia di distribuzioni che può approssimare un numero di distribuzioni comuni. Per esempio,

λ = −1	ca. Cauchy C (0, π )
λ = 0	esattamente logistico
λ = 0,14	ca. normale N (0, 2,142)
λ = 0,5	rigorosamente concavo (a forma di) ${\ displaystyle \ cap}$
λ = 1	U esattamente uniforme (−1, 1)
λ = 2	U esattamente uniforme (- 1 / 2 , 1 / 2 )

L'utilizzo più comune di questa distribuzione è generare un grafico PPCC lambda Tukey di un set di dati . Sulla base del grafico PPCC , viene suggerito un modello appropriato per i dati. Ad esempio, se l'adattamento migliore della curva ai dati si verifica per un valore di λ pari o vicino a 0,14, i dati potrebbero essere ben modellati con una distribuzione normale. Valori di λ inferiori a 0,14 suggeriscono una distribuzione a coda più pesante; un miglio a λ = 0 (logistico) indicherebbe code piuttosto grosse, con il limite estremo a λ = −1, approssimativo di Cauchy. Cioè, poiché il valore di adattamento migliore di λ varia da 0,14 verso −1, viene suggerito un PDF a forma di campana con code sempre più pesanti. Allo stesso modo, per un valore ottimale di λ diventa maggiore di 0,14 suggerisce una distribuzione con code eccezionalmente sottili (basata sul punto di vista che la distribuzione normale stessa è a coda sottile per cominciare).

Ad eccezione dei valori di λ molto vicini a 0, tutte le funzioni PDF suggerite hanno un supporto finito , tra   −1   / | λ |   e   +1   / | λ |  .

Poiché la distribuzione lambda di Tukey è una distribuzione simmetrica , l'uso del grafico PPCC lambda di Tukey per determinare una distribuzione ragionevole per modellare i dati si applica solo alle distribuzioni simmetriche. Un istogramma dei dati dovrebbe fornire la prova se i dati possono essere ragionevolmente modellati con una distribuzione simmetrica.

Riferimenti

link esterno

• "1.3.6.6.15 - Distribuzione Tukey-Lambda" . Galleria delle distribuzioni. Manuale di statistica ingegneristica. US NIST - Laboratorio di tecnologia dell'informazione. EDA 366F.

 Questo articolo incorpora  materiale di pubblico dominio dal sito web del National Institute of Standards and Technology https://www.nist.gov .