Tukey lambda distributie - Tukey lambda distribution

Tukey lambda-distributie

Waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie
Notatie	Tukey ( λ )
Parameters	λ ∈ R - vormparameter
Ondersteuning	x ∈ [−1 / λ , 1 / λ ] voor λ  > 0, x ∈ R voor λ  ≤ 0
Pdf	${\ Displaystyle (Q (p; \ lambda), q (p; \ lambda) ^ {- 1}), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1}$
CDF	${\ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, \, \, \ lambda \, = \, 0 \,}$ (speciaal geval) (algemeen geval) ${\ Displaystyle (Q (p; \ lambda), p), \, 0 \ leq \, p \, \ leq \, 1 \,}$
Gemeen	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1}$
Mediaan	0
Modus	0
Variantie	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}, \, \, \ lambda> -1/2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}}, \, \, \ lambda \, = \, 0}$
Scheefheid	${\ displaystyle 0, \, \, \ lambda> -1/3}$
Ex. kurtosis	${\ displaystyle {\ frac {(2 \ lambda +1) ^ {2}} {2 (4 \ lambda +1)}} \, {\ frac {g_ {2} ^ {2} {\ big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} {\ big)}} {g_ {4} {\ big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} {\ big)} ^ {2}}} \, - \, 3,}$ ${\ displaystyle 1.2, \, \, \ lambda \, = \, 0,}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} \, g_ {k} \, = \, \ Gamma (k \ lambda +1) \, {\ text {en}} \, \ lambda \,> \, - 1 / 4.}$
Entropie	${\ Displaystyle h (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ log (q (p; \ lambda)) \, dp}$
CF	${\ Displaystyle \ phi (t; \ lambda) = \ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp}$

Geformaliseerd door John Tukey , is de Tukey lambda-verdeling een continue, symmetrische kansverdeling gedefinieerd in termen van zijn kwantielfunctie . Het wordt doorgaans gebruikt om een ​​geschikte distributie te identificeren (zie de opmerkingen hieronder) en wordt niet rechtstreeks in statistische modellen gebruikt .

De Tukey lambda-verdeling heeft een enkele vormparameter , λ, en kan, net als bij andere kansverdelingen, worden getransformeerd met een locatieparameter , μ, en een schaalparameter , σ. Omdat de algemene vorm van kansverdeling kan worden uitgedrukt in termen van de standaardverdeling, worden de volgende formules gegeven voor de standaardvorm van de functie.

Kwantiel functie

Voor de standaardvorm van de Tukey lambda-verdeling zijn de kwantielfunctie (dwz de inverse functie van de cumulatieve verdelingsfunctie ) en de kwantieldichtheidsfunctie ( zijn ${\ displaystyle ~ Q (p) ~,}$${\ displaystyle ~ q = \ operatornaam {d} Q / \ operatornaam {d} p ~}$

${\ Displaystyle Q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ lambda}} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] ~, & {\ mbox {if}} \ lambda \ neq 0 ~, \\\ log ({\ frac {p} {1-p}}) ~, & {\ mbox {if }} \ lambda = 0 ~. \ end {cases}}}$

${\ Displaystyle q \ left (p; \ lambda \ right) ~ = ~ \ operatornaam {d} Q / \ operatornaam {d} p ~ = ~ p ^ {(\ lambda -1)} + \ left (1-p \ right) ^ {(\ lambda -1)} ~.}$

Voor de meeste waarden van de vormparameter λ , moeten de kansdichtheidsfunctie (PDF) en de cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) numeriek worden berekend. De Tukey lambda-distributie heeft een eenvoudige, gesloten vorm voor de CDF en / of PDF, alleen voor een paar uitzonderlijke waarden van de vormparameter, bijvoorbeeld: λ ∈ {2, 1, 1 ​ 2 , 0} (zie uniforme verdeling [geval λ = 1] en de logistieke verdeling [geval λ = 0]).

Echter, voor elke waarde van λ kunnen zowel de CDF als de PDF worden getabelleerd voor elk aantal cumulatieve kansen, p , met behulp van de kwantielfunctie Q om de waarde x te berekenen , voor elke cumulatieve kans p , met de kansdichtheid gegeven door 1 ​ q , het omgekeerde van de kwantiel-dichtheidsfunctie. Zoals gebruikelijk bij statistische verdelingen, kan de Tukey lambda-verdeling gemakkelijk worden gebruikt door waarden op te zoeken in een voorbereide tabel.

Momenten

De Tukey lambda-verdeling is symmetrisch rond nul, daarom is de verwachte waarde van deze verdeling gelijk aan nul. De variantie bestaat voor λ > - 1 ​ 2 en wordt gegeven door de formule (behalve wanneer λ = 0)

${\ displaystyle \ operatornaam {Var} [X] = {\ frac {2} {\ lambda ^ {2}}} {\ bigg (} {\ frac {1} {1 + 2 \ lambda}} - {\ frac {\ Gamma (\ lambda +1) ^ {2}} {\ Gamma (2 \ lambda +2)}} {\ bigg)}.}$

Meer in het algemeen is het moment van de n-de orde eindig als λ > -1 ​ n en wordt uitgedrukt in termen van de bètafunctie Β ( x , y ) (behalve wanneer λ = 0):

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ operatornaam {E} [X ^ {n}] = {\ frac {1} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ kies k} \, \ mathrm {B} (\ lambda k + 1, \, \ lambda (nk) +1).}$

Merk op dat vanwege symmetrie van de dichtheidsfunctie alle momenten van oneven orders gelijk zijn aan nul.

L-momenten

Anders dan de centrale momenten kunnen L-momenten in gesloten vorm worden uitgedrukt. Het L-moment van orde r> 1 wordt gegeven door

${\ displaystyle L_ {r} = {\ frac {\ left [1 + (- 1) ^ {r} \ right]} {\ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} {\ binom {r-1} {k}} {\ binom {r + k-1} {k}} \ left ({\ frac {1} {k + 1 + \ lambda}} \ right).}$

De eerste zes L-momenten kunnen als volgt worden weergegeven:

${\ displaystyle L_ {1} = 0}$

${\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {2} {2+ \ lambda}} \Rechtsaf]}$

${\ displaystyle L_ {3} = 0}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {12} {2+ \ lambda}} - {\ frac {30} {3+ \ lambda}} + {\ frac {30} {4+ \ lambda}} \ right]}$

${\ displaystyle L_ {5} = 0}$

${\ displaystyle L_ {6} = {\ frac {2} {\ lambda}} \ left [- {\ frac {1} {1+ \ lambda}} + {\ frac {30} {2+ \ lambda}} - {\ frac {210} {3+ \ lambda}} + {\ frac {560} {4+ \ lambda}} - {\ frac {630} {5+ \ lambda}} + {\ frac {252} { 6+ \ lambda}} \ right] \ ,.}$

Opmerkingen

De Tukey lambda-distributie is eigenlijk een familie van distributies die een aantal veelvoorkomende distributies kunnen benaderen. Bijvoorbeeld,

λ = -1	ongeveer. Cauchy C (0, π )
λ = 0	precies logistiek
λ = 0,14	ongeveer. normaal N (0, 2.142)
λ = 0,5	strikt concaaf ( -vormig) ${\ displaystyle \ cap}$
λ = 1	exact uniform U (-1, 1)
λ = 2	precies uniform U (- 1 ​ 2 ​ 1 ​ 2 ​

Het meest gebruikelijke gebruik van deze distributie is om een ​​Tukey lambda PPCC-plot van een dataset te genereren . Op basis van de PPCC-plot wordt een geschikt model voor de gegevens voorgesteld. Als de curve bijvoorbeeld het best bij de gegevens past voor een waarde van λ op of nabij 0,14, dan kunnen de gegevens goed worden gemodelleerd met een normale verdeling. Waarden van λ kleiner dan 0,14 suggereren een zwaardere verdeling; een mijlpaal op λ = 0 (logistiek) zou duiden op vrij dikke staarten, met de uiterste limiet op λ = −1, wat Cauchy benadert. Dat wil zeggen, aangezien de best passende waarde van λ varieert van 0,14 tot -1, wordt een klokvormige PDF met steeds zwaardere staarten gesuggereerd. Evenzo, voor een optimale waarde van λ groter wordt dan 0,14 suggereert een verdeling met uitzonderlijk dunne staarten (gebaseerd op het standpunt dat de normale verdeling zelf om te beginnen dunstaartig is).

Behalve de waarden van λ die zeer dicht bij 0 liggen, hebben alle voorgestelde PDF-functies eindige ondersteuning , tussen   -1   ​ ​ λ |   en   +1   ​ ​ λ |  ​

Aangezien de Tukey lambda-verdeling een symmetrische verdeling is, is het gebruik van de Tukey lambda PPCC-grafiek om een ​​redelijke verdeling te bepalen om de gegevens te modelleren alleen van toepassing op symmetrische verdelingen. Een histogram van de gegevens moet bewijzen of de gegevens redelijkerwijs kunnen worden gemodelleerd met een symmetrische verdeling.

Referenties

Externe links

• "1.3.6.6.15 - Tukey-Lambda-distributie" . Galerij van distributies. Engineering Statistics Handbook. US NIST - Laboratorium voor informatietechnologie. EDA 366F.

 Dit artikel bevat  materiaal uit het publieke domein van de website van het National Institute of Standards and Technology https://www.nist.gov .