Semiperymetr - Semiperimeter

W geometrii The semiperimeter z wielokąta jest połowa jego obwód . Chociaż ma tak proste wyprowadzenie z obwodu, półmetek pojawia się na tyle często we wzorach na trójkąty i inne figury, że otrzymuje oddzielną nazwę. Gdy półmierznik występuje jako część wzoru, jest zwykle oznaczany literą s .

Trójkąty

W każdym trójkąta, odległość wzdłuż granicy trójkąta z wierzchołkiem do punktu na krawędzi przeciwległej do dotkniętego przez excircle równa semiperimeter.

W przypadku trójkątów najczęściej używa się semiperimetru; wzór na półmierznik trójkąta o bokach a , b i c to

${\ Displaystyle s = {\ Frac {a + b + c} {2}}.}$

Nieruchomości

W każdym trójkącie każdy wierzchołek i punkt, w którym przeciwległy wykrzyknik dotyka trójkąta, dzieli obwód trójkąta na dwie równe długości, tworząc w ten sposób dwie ścieżki, z których każda ma długość równą półmetrowi. Jeśli A, B, C, A ', B' i C 'są takie, jak pokazano na rysunku, to odcinki łączące wierzchołek o przeciwnej styczności wykrętu (AA', BB 'i CC', pokazane na czerwono w diagram) są znane jako rozdzielacze i

${\ Displaystyle s = | AB | + | A'B | = | AB | + | AB '| = | AC | + | A'C |}$

${\ Displaystyle = | AC | + | AC '| = | BC | + | B'C | = | BC | + | BC' |.}$

Trzy rozdzielacze pokrywają się w punkcie Nagela trójkąta.

Tasak trójkąta to odcinek, który przecina obwód trójkąta i ma jeden punkt końcowy w punkcie środkowym jednej z trzech stron. Tak więc każdy tasak, jak każdy rozdzielacz, dzieli trójkąt na dwie ścieżki, z których każda jest równa semiperymetrowi. Trzy lepczyca zgodzić się na środku okręgu Spieker , który jest incircle w środkowej trójkąta ; środek Spiekera jest środkiem masy wszystkich punktów na krawędziach trójkąta.

Linia przechodząca przez trójkąta incenter przecina obwód wtedy i tylko wtedy również przecina obszar.

Półmetr trójkąta jest równy obwodowi jego środkowego trójkąta .

Z powodu nierówności trójkąta długość najdłuższego boku trójkąta jest mniejsza niż półmetr.

Formuły odwołujące się do semiperimetru

Pole A dowolnego trójkąta jest iloczynem jego promienia (promienia wpisanego koła) i jego półmetra:

${\ Displaystyle A = rs.}$

Pole trójkąta można również obliczyć z jego półmetra i długości boków a, b, c za pomocą wzoru Herona :

${\ Displaystyle A = {\ sqrt {s \ lewo (sa \ prawo) \ lewo (sb \ prawo) \ lewo (sc \ prawo)}}.}$

Obwód promienia R trójkąta można również obliczyć z półmetra i długości boków:

${\ Displaystyle R = {\ Frac {abc} {4 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}.}$

Ten wzór można wyprowadzić z prawa sinusów .

Inradius jest

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ Frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}$

Prawo cotangents daje cotangents danej połowy kątów w wierzchołkach trójkąta pod względem semiperimeter, boki oraz inradius.

Długość dwusiecznej wewnętrznej kąta przeciwnego do boku o długości a wynosi

${\ displaystyle t_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}$

W trójkącie prostokątnym promień wykrętu na przeciwprostokątnej jest równy semiperymetrowi. Półmiernik jest sumą promienia wewnętrznego i dwukrotności promienia obwodu. Obszar prawego trójkąta to miejsce, w którym a i b są nogami. ${\ displaystyle (sa) (sb)}$

Czworokąty

Wzór na półmierznik czworoboku o długościach boków a , b , c i d jest następujący

${\ Displaystyle s = {\ Frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Jeden ze wzorów na pole trójkąta, obejmujący półmetr, ma również zastosowanie do czworokątów stycznych , które mają incircle, w których (zgodnie z twierdzeniem Pitota ) pary przeciwległych boków mają długości zsumowane do półmetra - a mianowicie pole jest iloczynem promienia i półmiernik:

${\ Displaystyle K = rs.}$

Najprostsza postać wzoru Brahmagupty na pole cyklicznego czworoboku ma postać podobną do wzoru Herona na pole trójkąta:

${\ Displaystyle K = {\ sqrt {\ lewo (sa \ prawo) \ lewo (sb \ prawo) \ lewo (sc \ prawo) \ lewo (SD \ prawo)}}.}$

Wzór Bretschneidera uogólnia to na wszystkie wypukłe czworoboki:

${\ Displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ prawej) )}},}$

w którym i są dwoma przeciwnymi kątami. ${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ Displaystyle \ gamma \,}$

Cztery boki bicentrycznego czworoboku to cztery rozwiązania równania kwartalnego sparametryzowane przez półmierz, promień i promień obwodu .

Regularne wielokąty

Pole wypukłego wielokąta foremnego jest iloczynem jego półmierznika i apotemu .

Zobacz też

• Półśrednica

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. "Semiperimeter" . MathWorld .