Semiperimetro - Semiperimeter
In geometria , il semiperimetro di un poligono è la metà del suo perimetro . Sebbene abbia una derivazione così semplice dal perimetro, il semiperimetro appare abbastanza frequentemente nelle formule per triangoli e altre figure che gli viene dato un nome separato. Quando il semiperimetro si trova come parte di una formula, è tipicamente indicato dalla lettera s .
triangoli
Il semiperimetro è usato più spesso per i triangoli; la formula per la semiperimetro di un triangolo con lato lunghezze un , b , e c è
Proprietà
In qualsiasi triangolo, qualsiasi vertice e il punto in cui la circonferenza opposta tocca il triangolo suddividono il perimetro del triangolo in due lunghezze uguali, creando così due percorsi ciascuno dei quali ha una lunghezza pari al semiperimetro. Se A, B, C, A ', B' e C 'sono come mostrato nella figura, allora i segmenti che collegano un vertice con la tangenza di circonferenza opposta (AA', BB 'e CC', mostrati in rosso nella diagramma) sono noti come splitter e
I tre divisori concordano nel punto Nagel del triangolo.
Una mannaia di un triangolo è un segmento di linea che divide in due il perimetro del triangolo e ha un punto finale nel punto medio di uno dei tre lati. Quindi qualsiasi mannaia, come qualsiasi divisore, divide il triangolo in due percorsi ciascuno della cui lunghezza è uguale al semiperimetro. I tre cleavers concorrono al centro del cerchio Spieker , che è la circonferenza inscritta del triangolo mediale ; il centro di Spieker è il centro di massa di tutti i punti sui bordi del triangolo.
Una retta passante del triangolo incenter biseca il perimetro se e solo se biseca anche la zona.
Il semiperimetro di un triangolo è uguale al perimetro del suo triangolo mediale .
Per la disuguaglianza del triangolo , la lunghezza del lato più lungo di un triangolo è inferiore al semiperimetro.
Formule che invocano il semiperimetro
L'area A di ogni triangolo è il prodotto del suo raggio in (il raggio del suo cerchio inscritto) e del suo semiperimetro:
L'area di un triangolo può anche essere calcolata dal suo semiperimetro e dalle lunghezze laterali a, b, c usando la formula di Heron :
Il circumradius R di un triangolo può essere calcolato anche dal semiperimetro e dalle lunghezze dei lati:
Questa formula può essere derivata dalla legge dei seni .
Il raggio è
La legge delle cotangenti fornisce le cotangenti dei semiangoli ai vertici di un triangolo in termini di semiperimetro, lati e raggio.
La lunghezza della bisettrice interna dell'angolo opposto al lato della lunghezza a è
In un triangolo rettangolo , il raggio del excircle sul hypotenuse uguale al semiperimetro. Il semiperimetro è la somma dell'inradius e del doppio del circumradius. L'area del triangolo rettangolo è dove una e b sono le gambe.
Quadrilateri
La formula per la semiperimetro di un quadrilatero con il lato lunghezze un , b , c e d è
Una delle formule dell'area del triangolo che coinvolgono il semiperimetro si applica anche ai quadrilateri tangenziali , che hanno un cerchio e in cui (secondo il teorema di Pitot ) coppie di lati opposti hanno lunghezze che si sommano al semiperimetro, vale a dire, l'area è il prodotto dell'inradius e il semiperimetro:
La forma più semplice della formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico ha una forma simile a quella della formula di Heron per l'area del triangolo:
La formula di Bretschneider generalizza questo a tutti i quadrilateri convessi :
in cui e sono due angoli opposti.
I quattro lati di un quadrilatero bicentrico sono le quattro soluzioni di un'equazione quartica parametrizzata dal semiperimetro, dall'inradius e dal circumradius .
Poligoni regolari
L'area di un poligono regolare convesso è il prodotto del suo semiperimetro e del suo apotema .
