Semiperimetru - Semiperimeter

În geometrie , semiperimetrul unui poligon este jumătate din perimetrul său . Deși are o derivare atât de simplă din perimetru, semiperimetrul apare suficient de frecvent în formulele pentru triunghiuri și alte figuri încât să i se dea un nume separat. Când semiperimetrul apare ca parte a unei formule, acesta este de obicei notat cu litera s .

Triunghiuri

În orice triunghi, distanța de-a lungul limitei triunghiului de la un vârf până la punctul de pe marginea opusă atinsă de un cerc este egal cu semiperimetrul.

Semiperimetrul este folosit cel mai des pentru triunghiuri; formula semiperimetrului unui triunghi cu lungimi laterale a , b și c este

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}$

Proprietăți

În orice triunghi, orice vârf și punctul în care cercul opus atinge partiția triunghiului perimetrul triunghiului în două lungimi egale, creând astfel două căi, fiecare dintre ele având o lungime egală cu semiperimetrul. Dacă A, B, C, A ', B' și C 'sunt așa cum se arată în figură, atunci segmentele care leagă un vârf cu tangența excircul opusă (AA', BB 'și CC', prezentate în roșu în diagramă) sunt cunoscute sub numele de splittere și

${\ displaystyle s = | AB | + | A'B | = | AB | + | AB '| = | AC | + | A'C |}$

${\ displaystyle = | AC | + | AC '| = | BC | + | B'C | = | BC | + | BC' |.}$

Cele trei despărțitoare concurează la punctul Nagel al triunghiului.

Un cleaver al unui triunghi este un segment de linie care împarte perimetrul triunghiului și are un punct final la mijlocul uneia dintre cele trei laturi. Deci, orice cleaver, ca orice splitter, împarte triunghiul în două căi, fiecare a cărei lungime este egală cu semiperimetrul. Cele trei cleavers concură la centrul cercului Spieker , care este incircle a triunghiului medial ; centrul Spieker este centrul de masă al tuturor punctelor de pe marginile triunghiului.

O linie prin incinerul triunghiului împarte perimetrul dacă și numai dacă împarte și zona.

Semiperimetrul unui triunghi este egal cu perimetrul triunghiului său medial .

Prin inegalitatea triunghiului , cea mai lungă lungime laterală a unui triunghi este mai mică decât semiperimetrul.

Formule care invocă semiperimetrul

Suprafața A oricărui triunghi este produsul său inradius (raza cercului său înscrise) și semiperimetrul sale:

${\ displaystyle A = rs.}$

Aria unui triunghi poate fi calculată și din semiperimetrul său și lungimile laturilor a, b, c folosind formula lui Heron :

${\ displaystyle A = {\ sqrt {s \ left (sa \ right) \ left (sb \ right) \ left (sc \ right)}}.}$

Circumscris R unui triunghi poate fi calculată din semiperimetrul și lungimile:

${\ displaystyle R = {\ frac {abc} {4 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}}$

Această formulă poate fi derivată din legea sinelor .

Inradiusul este

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}$

Legea cotangents dă cotangents jumatatii unghiurile la vârfurile unui triunghi în ceea ce privește semiperimetrul, părțile laterale, și inradius.

Lungimea bisectoarei interne a unghiului opus laturii lungimii a este

${\ displaystyle t_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}$

Într - un triunghi dreptunghic , raza excircle pe ipotenuzei este egal cu semiperimetrul. Semiperimetrul este suma inradius și de două ori circumradius. Aria triunghiului dreptunghi este unde a și b sunt picioarele. ${\ displaystyle (sa) (sb)}$

Cadrilaterale

Formula semiperimetrului unui patrulater cu lungimi laterale a , b , c și d este

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Una dintre formulele ariei triunghiulare care implică semiperimetrul se aplică și pentru patrulaterele tangențiale , care au un cerc și în care (conform teoremei lui Pitot ) perechile de laturi opuse au lungimi însumând semiperimetrul - și anume, aria este produsul inradius și semiperimetrul:

${\ displaystyle K = rs.}$

Cea mai simplă formă a formulei lui Brahmagupta pentru aria unui patrulater ciclic are o formă similară cu cea a formulei lui Heron pentru aria triunghiului:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {\ left (sa \ right) \ left (sb \ right) \ left (sc \ right) \ left (sd \ right)}}.}$

Formula lui Bretschneider generalizează acest lucru la toate patrulaterele convexe :

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}},}$

în care și sunt două unghiuri opuse. ${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ gamma \,}$

Cele patru laturi ale unui patrulater bicentric sunt cele patru soluții ale unei ecuații quartice parametrizate de semiperimetru, radius și circumradius .

Poligoane regulate

Suprafața unui convex poligon regulat este produsul semiperimetrul sale și sa apotemă .

Vezi si

• Semidiametru

Referințe

linkuri externe

• Weisstein, Eric W. „Semiperimetru” . MathWorld .