Halvmåler - Semiperimeter

I geometri er semiperimeteret til en polygon halvparten av omkretsen . Selv om den har en så enkel avledning fra omkretsen, vises semiperimeter ofte ofte i formler for trekanter og andre figurer at den får et eget navn. Når semiperimeteret oppstår som en del av en formel, betegnes det vanligvis med bokstaven s .

Trekanter

I en hvilken som helst trekant tilsvarer avstanden langs trekantsgrensen fra et toppunkt til punktet på motsatt kant berørt av en eksirkel semiperimeteret .

Semiperimeter brukes oftest til trekanter; formelen for semiperimeter av en trekant med sidelengder a , b og c er

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}$

Eiendommer

I en hvilken som helst trekant berører ethvert toppunkt og punktet der motsatt sirkel trekantpartisjonen trekantens omkrets i to like lengder, og skaper dermed to baner som hver har en lengde lik semiperimeteret. Hvis A, B, C, A ', B' og C 'er som vist i figuren, vil segmentene som forbinder en toppunkt med motsatt ekskirkeltangens (AA', BB 'og CC', vist i rødt i diagram) er kjent som splittere , og

${\ displaystyle s = | AB | + | A'B | = | AB | + | AB '| = | AC | + | A'C |}$

${\ displaystyle = | AC | + | AC '| = | BC | + | B'C | = | BC | + | BC' |.}$

De tre splitterne stemmer overens ved Nagel-punktet i trekanten.

En kløver av en trekant er et linjesegment som halverer omkretsen av trekanten og har ett endepunkt midtpunktet på en av de tre sidene. Så hvilken som helst kløver, som enhver splitter, deler trekanten i to baner som hver har lengde lik semiperimeteret. De tre kløyve enig i midten av Spieker sirkel , som er incircle av medial trekant ; Spieker-senteret er massesenteret til alle punktene i trekantens kanter.

En linje gjennom trekantens midtpunkt halverer omkretsen hvis og bare hvis den også halverer området.

En trekants semiperimeter tilsvarer omkretsen til den mediale trekanten .

Ved trekantulikheten er den lengste sidelengden av en trekant mindre enn semiperimeteret.

Formler som påberoper semiperimeter

Området A i en hvilken som helst trekant er produktet av inradiusen (radiusen av den innskrevne sirkelen) og dens semiperimeter:

${\ displaystyle A = rs.}$

Arealet av en trekant kan også beregnes ut fra semiperimeter og sidelengder a, b, c ved hjelp av Herons formel :

${\ displaystyle A = {\ sqrt {s \ left (sa \ right) \ left (sb \ right) \ left (sc \ right)}}.}$

Den circumradius R av en trekant kan også beregnes ut fra de semiperimeter og sidelengdene:

${\ displaystyle R = {\ frac {abc} {4 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}.}$

Denne formelen kan være avledet fra loven om sines .

Inradius er

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}$

Den lov cotangens gir cotangens til halv vinkler i hjørnene i en trekant i form av semiperimeter, sidene, og inradius.

Lengden på den indre halveringen av vinkelen motsatt siden av lengden a er

${\ displaystyle t_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}$

I en høyre trekant er radiusen til eksirkulasjonen på hypotenusen lik halvmåler. Halvmåler er summen av inradius og to ganger circumradius. Området til høyre trekant er der a og b er bena. ${\ displaystyle (sa) (sb)}$

Quadrilaterals

Formelen for semiperimeter for et firkant med sidelengder a , b , c og d er

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

En av formlene for trekantområdet som involverer semiperimeteret, gjelder også tangentielle firkant , som har en sirkel og der (ifølge Pitots teorem ) par med motsatte sider har lengder som summerer seg til semiperimeteret - nemlig området er produktet av inradius og semiperimeteret:

${\ displaystyle K = rs.}$

Den enkleste formen for Brahmaguptas formel for området til et syklisk firkant har en form som ligner den av Herons formel for trekantområdet:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {\ venstre (sa \ høyre) \ venstre (sb \ høyre) \ venstre (sc \ høyre) \ venstre (sd \ høyre)}}.}$

Bretschneiders formel generaliserer dette til alle konvekse firsider:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}},}$

hvor og er to motsatte vinkler. ${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ gamma \,}$

De fire sidene av et tosentrisk firkant er de fire løsningene til en kvartligning parametrisert av semiperimeteret, inradiusen og circumradiusen .

Vanlige polygoner

Området til en konveks vanlig polygon er produktet av semiperimeter og apotem .

Se også

• Halvdiameter

Referanser

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Semiperimeter" . MathWorld .