Semiperimetri - Semiperimeter

Vuonna geometria The semiperimeter on monikulmio on puoli sen kehä . Vaikka se on niin yksinkertainen johdatus kehästä, puoliperimetri näkyy riittävän usein kolmioiden ja muiden kuvien kaavoissa, että sille annetaan erillinen nimi. Kun puolimittari esiintyy osana kaavaa, sitä merkitään tyypillisesti kirjaimella s .

Kolmioita

Missä tahansa kolmiossa etäisyys kolmiota pitkin kärjestä pisteeseen vastakkaisella reunalla olevaan pisteeseen, jota koskettaa ympyrä, on puoliläpimittari.

Puolimittaria käytetään useimmiten kolmioissa; kaavan puolipitimittarille kolmiosta, jonka sivupituudet ovat a , b ja c, on

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}$

Ominaisuudet

Missä tahansa kolmiossa mikä tahansa kärki ja kohta, jossa vastakkainen ympyrä koskettaa kolmion osiota kolmion kehää kahteen yhtä pituuteen, luo siten kaksi polkua, joista kummankin pituus on yhtä suuri kuin puoliperimetri. Jos A, B, C, A ', B' ja C 'ovat kuten kuvassa, segmentit, jotka yhdistävät kärkipisteen vastakkaiseen ympyrän tangentiaaliin (AA', BB 'ja CC', punaisella kaavio) tunnetaan jakajina ja

${\ displaystyle s = | AB | + | A'B | = | AB | + | AB '| = | AC | + | A'C |}$

${\ displaystyle = | AC | + | AC '| = | BC | + | B'C | = | BC | + | BC' |.}$

Kolme jakajat yhtyvät on Nagel kohdassa kolmion.

Suojakiila kolmio on jana, joka puolittaa kehän kolmion ja on yksi päätepiste keskipisteessä yksi kolmesta puolin. Joten mikä tahansa halkaisija, kuten mikä tahansa jakaja, jakaa kolmion kahteen polkuun, joiden kumpikin pituus on yhtä suuri kuin puoliperimetri. Kolme cleavers yhtyvät on keskellä Spieker ympyrän , joka on incircle on keskinen kolmio ; Spieker keskus on massakeskipisteen kaikkien pisteiden kolmion reunat.

Kolmion sisääntulon läpi kulkeva viiva puolittaa kehän vain ja vain, jos se myös jakaa alueen.

Kolmion puoliperimetri on yhtä suuri kuin sen mediaalisen kolmion kehä .

Kolmion eriarvoisuuden vuoksi kolmion pisin sivupituus on pienempi kuin puoliperimetri.

Semiperimetriä käyttävät kaavat

Minkä tahansa kolmion alue A on sen säteen (sen merkityn ympyrän säde) ja puolimittarin tulo :

${\ displaystyle A = rs.}$

Alue Kolmion voidaan myös laskea sen semiperimeter ja sivun pituudet a, b, c käyttäen Heron kaava :

${\ displaystyle A = {\ sqrt {s \ vasen (sa \ oikea) \ vasen (sb \ oikea) \ vasen (sc \ oikea)}}.}$

Circumradius R on kolmion voidaan myös laskea semiperimeter ja sivun pituudet:

${\ displaystyle R = {\ frac {abc} {4 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}}.$

Tämä kaava voidaan johtaa sinilakista .

Säde on

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}$

Kotangenttilause antaa kotangenteista puolen kulmat on kolmion kannalta semiperimeter, sivut, ja inradius.

Pituus sisäisen puolittaja kulma vastakkaisella sivulla pituus on

${\ displaystyle t_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}}} {b + c}}.}$

Vuonna suorakulmaisen kolmion , säde excircle on hypotenuusan vastaa semiperimeter. Puolimittari on säteen ja kaksinkertaisen ympärysmitan summa. Oikean kolmion alue on siinä missä a ja b ovat jalat. ${\ displaystyle (sa) (sb)}$

Nelikulmaiset

Kaava nelikulmion puolipitimittarille, jonka sivupituudet ovat a , b , c ja d, on

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Yksi puoliperimetriä sisältävä kolmion pinta-alan kaava koskee myös tangentiaalisia nelikulmioita , joissa on ympyrä ja joissa ( Pitotin lauseen mukaan ) vastakkaisten sivujen parit ovat pituudeltaan summaavat puoliperimetrillä - nimittäin alue on säteen ja puolimittari:

${\ displaystyle K = rs.}$

Brahmagupta-kaavan yksinkertaisimmalla muodolla syklisen nelikulmion pinta-alalle on samanlainen muoto kuin Heronin kolmion pinta-alan kaavalle:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {\ vasen (sa \ oikea) \ vasen (sb \ oikea) \ vasen (sc \ oikea) \ vasen (sd \ oikea)}}.}$

Bretschneiderin kaava yleistää tämän kaikkiin kuperiin nelikulmioihin:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ vasen ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ oikea )}},}$

joissa ja ovat kaksi vastakkaista kulmaa. ${\ displaystyle \ alfa \,}$${\ displaystyle \ gamma \,}$

Kaksikeskisen nelikulmion neljä sivua ovat neljän yhtälön neljä ratkaisua, jotka on parametroitu puoliperäisillä mittareilla, säteellä ja ympärysmitalla .

Säännölliset polygonit

Alueella on kupera säännöllinen monikulmio on tuote sen semiperimeter ja sen apoteema .

Katso myös

• Puoliläpimitta

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Weisstein, Eric W. "Semiperimetri" . MathWorld .