Regissert sett - Directed set

I matematikk er et rettet sett (eller et rettet forhåndsbestilling eller et filtrert sett ) et ikke-friskt sett sammen med en refleksiv og transitiv binær relasjon (det vil si en forhåndsbestilling ), med den ekstra egenskapen at hvert par elementer har en øvre grense . Med andre ord, for noen og i det må eksistere i med og A rettet sett er preorder kalles en retning . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ leq c}$${\ displaystyle b \ leq c.}$

Begrepet som er definert ovenfor kalles noen ganger et oppoverrettet sett . Et nedoverrettet sett er definert analogt, noe som betyr at hvert elementpar er avgrenset nedenfor. Noen forfattere (og denne artikkelen) antar at et regissert sett er rettet oppover, med mindre annet er oppgitt. Vær oppmerksom på at andre forfattere kaller et sett rettet hvis og bare hvis det er rettet både oppover og nedover.

Regisserte sett er en generalisering av ikke- ordnede totalt bestilte sett . Det vil si at alle totalt bestilte sett er regisserte sett (kontrast delvis ordnede sett , som ikke trenger å rettes). Bli med på semilattices (som er delvis ordnede sett) er også regisserte sett, men ikke omvendt. På samme måte er gitter rettet sett både oppover og nedover.

I topologi brukes dirigerte sett for å definere garn , som generaliserer sekvenser og forener de forskjellige forestillingene om grense som brukes i analysen . Regisserte sett gir også direkte grenser i abstrakt algebra og (mer generelt) kategoriteori .

Tilsvarende definisjon

I tillegg til definisjonen ovenfor, er det en ekvivalent definisjon. Et regissert sett er et sett med en forhåndsbestilling slik at hver endelige delmengde har en øvre grense. I denne definisjonen innebærer eksistensen av en øvre grense for det tomme delsettet at det ikke er fritt. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Eksempler

Et element av et forhåndsbestilte sett er en maksimal element hvis for alle , innebærer . Det er en størst element hvis for alle , . Noen enkle implikasjoner av definisjonen inkluderer: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle j \ i I}$${\ displaystyle m \ leq j}$${\ displaystyle j \ leq m}$${\ displaystyle j \ i I}$${\ displaystyle j \ leq m}$

• Ethvert forhåndsbestilt sett med det største elementet er et regissert sett med samme forhåndsbestilling.
• Hvert maksimale element i et rettet forhåndsbestilt sett er et største element. Faktisk er et rettet forhåndsbestilt sett preget av likhet mellom de (muligens tomme) settene med maksimale og største elementer.

Eksempler på regisserte sett inkluderer:

• Settet med naturlige tall med ordinær rekkefølge er et rettet sett (og det samme er hvert totalt ordnet sett ).${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$
• La og bli instruert sett. Deretter kan det kartesiske produktsettet gjøres til et regissert sett ved å definere om og bare hvis og i analogi med produktordren, er dette produktretningen på det kartesiske produktet. For eksempel kan settet med par av naturlige tall gjøres til et rettet sett ved å definere hvis og bare hvis og${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {1} \ times \ mathbb {D} _ {2}}$${\ displaystyle \ left (n_ {1}, n_ {2} \ right) \ leq \ left (m_ {1}, m_ {2} \ right)}$${\ displaystyle n_ {1} \ leq m_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2} \ leq m_ {2}.}$${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ left (n_ {0}, n_ {1} \ right) \ leq \ left (m_ {0}, m_ {1} \ right)}$${\ displaystyle n_ {0} \ leq m_ {0}}$${\ displaystyle n_ {1} \ leq m_ {1}.}$
• Hvis er et topologisk rom og er et punkt i mengden av alle nabolag av kan bli omgjort til en rettet sett ved å skrive hvis og bare hvis inneholder For hver og  : ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle T,}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle U \ leq V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle W}$
  • ${\ displaystyle U \ leq U}$siden inneholder seg selv.${\ displaystyle U}$
  • hvis og da og som innebærer Dermed${\ displaystyle U \ leq V}$${\ displaystyle V \ leq W,}$${\ displaystyle U \ supseteq V}$${\ displaystyle V \ supseteq W,}$${\ displaystyle U \ supseteq W.}$${\ displaystyle U \ leq W.}$
  • fordi og siden både og vi har og${\ displaystyle x_ {0} \ i U \ cap V,}$${\ displaystyle U \ supseteq U \ cap V}$${\ displaystyle V \ supseteq U \ cap V,}$${\ displaystyle U \ leq U \ cap V}$${\ displaystyle V \ leq U \ cap V.}$
• Hvis er et reelt tall, kan settet gjøres om til et rettet sett ved å definere om (så "større" elementer er nærmere ). Vi sier da at realene har blitt rettet mot . Dette er et eksempel på et regissert sett som verken er delvis ordnet eller totalbestilt . Dette er fordi antisymmetri brytes ned for hvert par og like langt fra hvor og er på motsatt side av eksplisitt, dette skjer når det for noen virkelige i så fall og selv om denne forhåndsbestillingen ble definert på i stedet for da, ville det fremdeles danne et rettet sett, men det ville nå ha et (unikt) største element, spesielt ; det ville imidlertid fortsatt ikke være delvis bestilt. Dette eksemplet kan generaliseres til et metrisk område ved å definere på eller forhåndsbestilling hvis og bare hvis${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle I: = \ mathbb {R} \ tilbakeslag \ lbrace x_ {0} \ rbrace}$${\ displaystyle a \ leq _ {I} b}$${\ displaystyle \ left | a-x_ {0} \ right | \ geq \ left | b-x_ {0} \ right |}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {0}.}$${\ displaystyle \ {a, b \} = \ left \ {x_ {0} -r, x_ {0} + r \ right \}}$${\ displaystyle r \ neq 0,}$${\ displaystyle a \ leq _ {I} b}$${\ displaystyle b \ leq _ {I} a}$${\ displaystyle a \ neq b.}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ backslash \ lbrace x_ {0} \ rbrace}$${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ setminus \ left \ {x_ {0} \ right \}}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle d \ left (a, x_ {0} \ right) \ geq d \ left (b, x_ {0} \ right).}$
• Et (trivielt) eksempel på et delvis ordnet sett som ikke er rettet er settet }, der de eneste ordenforholdene er og Et mindre trivielt eksempel er som det forrige eksemplet på "realene rettet mot ", men hvor ordreregelen bare gjelder par av elementer på samme side av x ₀ (dvs. hvis man tar et element til venstre for og til høyre, så og er ikke sammenlignbare, og delmengden har ingen øvre grense).${\ displaystyle \ {a, b \}}$${\ displaystyle a \ leq a}$${\ displaystyle b \ leq b.}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ {a, b \}}$
• En ikke-tom familie av sett er et dirigert sett med hensyn til den delvise rekkefølgen (henholdsvis ) hvis og bare hvis skjæringspunktet (resp., Union) til to av medlemmene inneholder som en delmengde (resp., Er inneholdt som en delmengde av) et tredje medlem. I symboler er en familie av sett rettet med hensyn til (henholdsvis ) hvis og bare hvis ${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$

  for alle eksisterer noen slike som og (resp., og )${\ displaystyle A, B \ i I,}$${\ displaystyle C \ i I}$${\ displaystyle A \ supseteq C}$${\ displaystyle B \ supseteq C}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$${\ displaystyle B \ subseteq C}$

  eller tilsvarende,

  for alle finnes det noen slike som (resp. ).${\ displaystyle A, B \ i I,}$${\ displaystyle C \ i I}$${\ displaystyle A \ cap B \ supseteq C}$${\ displaystyle A \ cap B \ subseteq C}$

  Hvert π- system , som er en ikke-tom familie av sett som er lukket under krysset mellom to av dets medlemmer, er et rettet sett med hensyn til Hvert λ-system er et rettet sett med hensyn til Hvert filter , topologi , og σ-algebra er et regissert sett med hensyn til både og${\ displaystyle \, \ supseteq \ ,.}$${\ displaystyle \, \ subseteq \ ,.}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \ ,.}$
• Per definisjon er et forfilter eller en filterbase en ikke-tom familie av sett som er et rettet sett med hensyn til delrekkefølgen, og som heller ikke inneholder det tomme settet (denne tilstanden forhindrer trivialitet fordi ellers ville det tomme settet være et største elementet med hensyn til ).${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$
• I en poset rettes hver nedre lukking av et element, dvs. hvert delmengde av formen hvor det er et fast element fra .${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle \ {a \ i P: a \ leq x \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P,}$

Kontrast med semilattices

Eksempel på et regissert sett som ikke er et sammenføynings-semilattice

Regisserte sett er et mer generelt konsept enn (sammenføyning) halvlitteratur: hvert sammenføyningslist er et rettet sett, da skjøten eller minste øvre grense for to elementer er ønsket. Det omvendte holder imidlertid ikke, vitner det rettet settet {1000.0001, 1101,1011,1111} ordnet bitvis (f.eks. Holder, men ikke, siden i siste bit 1> 0), der {1000 0001} har tre øvre grenser, men ikke minst øvre grense, jfr. bilde. (Vær også oppmerksom på at uten 1111 er settet ikke rettet.) ${\ displaystyle c.}$${\ displaystyle 1000 \ leq 1011}$${\ displaystyle 0001 \ leq 1000}$

Regisserte delmengder

Det kreves ikke at rekkefølgen i et regissert sett er antisymmetrisk , og derfor er ikke rettede sett ikke alltid delordrer . Imidlertid brukes begrepet regissert ofte også i sammenheng med posetter. I denne innstillingen kalles et delsett av et delvis ordnet sett et rettet delsett hvis det er et rettet sett i samme delrekkefølge: med andre ord er det ikke det tomme settet , og hvert par av elementer har en øvre grense. Her arves ordensforholdet på elementene av ; av denne grunn trenger ikke refleksivitet og transitivitet kreves eksplisitt. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$

En rettet delmengde av en poset er ikke nødvendig å være lukket nedover ; en delmengde av en poset er rettet hvis og bare hvis nedadgående lukking er et ideal . Mens definisjonen av et rettet sett er for et "oppoverrettet" sett (hvert par av elementer har en øvre grense), er det også mulig å definere et nedoverrettet sett der hvert par av elementer har en felles nedre grense. En delmengde av en poset er nedoverrettet hvis og bare hvis den øvre lukkingen er et filter .

Rettede delmengder brukes i domeneteorien , som studerer rettet-fullstendige delordrer . Dette er posetter der hvert oppoverrettet sett kreves for å ha minst øvre grense . I denne sammenheng gir dirigerte delsett igjen en generalisering av konvergerende sekvenser.

Se også

• Sentrert sett  - ordre teori
• Filtrert kategori
• Koblet sett
• Nett (matematikk)  - En generalisering av en sekvens av poeng

Merknader

Referanser

• JL Kelley (1955), generell topologi .
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Kontinuerlige gitter og domener , Cambridge University Press. ISBN  0-521-80338-1 .