Baire-funksjon - Baire function

I matematikk , Baire funksjoner er funksjoner som oppnås fra kontinuerlige funksjoner ved transfinite iterasjon av operasjonen med å danne punktvis grensene for sekvenser av funksjoner. De ble introdusert av René-Louis Baire i 1899. Et Baire-sett er et sett hvis karakteristiske funksjon er en Baire-funksjon. (Det finnes andre, nesten likeverdige, men ulikverdige definisjoner av Baire-sett.)

Klassifisering av Baire-funksjoner

Baire-funksjoner i klasse α, for et hvilket som helst tellbart ordinaltall α, danner et vektorrom med reelle verdsatte funksjoner definert i et topologisk rom , som følger.

  • Baire klasse 0-funksjoner er kontinuerlige funksjoner .
  • Baire klasse 1-funksjoner er de funksjonene som er den punktvise grensen for en sekvens av Baire klasse 0-funksjoner.
  • Generelt er Baire-klasse α-funksjonene alle funksjoner som er den punktvise grensen for en sekvens av funksjoner i Baire-klasse mindre enn α.

Noen forfattere definerer klassene litt annerledes, ved å fjerne alle funksjoner i klasse mindre enn α fra funksjonene i klasse α. Dette betyr at hver Baire-funksjon har en veldefinert klasse, men funksjonene til en gitt klasse danner ikke lenger et vektorrom.

Henri Lebesgue beviste at (for funksjoner på enhetsintervallet ) inneholder hver Baire-klasse av et tellbart ordinært antall funksjoner som ikke er i noen mindre klasse, og at det finnes funksjoner som ikke er i noen Baire-klasse.

Baire klasse 1

Eksempler:

  • Den deriverte av enhver differentiable funksjon er av klasse 1. Et eksempel på en differensierbar funksjon hvis deriverte er ikke kontinuerlig (ved x  = 0) er funksjonen lik når x  ≠ 0, og 0 når x  = 0. En uendelig summen av liknende funksjoner (skalert og forskjøvet av rasjonelle tall ) kan til og med gi en differensierbar funksjon hvis derivat er diskontinuerlig i et tett sett. Imidlertid har den nødvendigvis poeng med kontinuitet, som lett følger av The Baire Characterization Theorem (nedenfor; ta K  =  X  =  R ).
  • Den karakteristiske funksjonen til settet med heltall , som er lik 1 hvis x er et helt tall og 0 ellers. (Et uendelig antall store diskontinuiteter.)
  • Thomaes funksjon , som er 0 for irrasjonell x og 1 / q for et rasjonelt tall p / q (i redusert form). (Et tett sett med diskontinuiteter, nemlig settet med rasjonelle tall.)
  • Den karakteristiske funksjonen til Cantorsettet , som er lik 1 hvis x er i Cantorsettet og 0 ellers. Denne funksjonen er 0 for et utellelig sett med x- verdier, og 1 for et utellelig sett. Den er diskontinuerlig uansett hvor den er lik 1 og kontinuerlig uansett hvor den er lik 0. Den er tilnærmet av de kontinuerlige funksjonene , hvor er avstanden x fra nærmeste punkt i Cantor-settet.

Baire Characterization Theorem sier at en virkelig verdsatt funksjon f definert på et Banach-rom X er en Baire-1-funksjon hvis og bare hvis for hver ikke-tom lukket delmengde K av X , har begrensningen av f til K et kontinuitetspunkt relativt til topologien av K .

Av en annen teori om Baire, for hver Baire-1-funksjon, er kontinuitetspunktene et comeager G δ- sett ( Kechris 1995 , Theorem (24.14)).

Baire klasse 2

Et eksempel på en Baire klasse 2-funksjon i intervallet [0,1] som ikke er i klasse 1 er den karakteristiske funksjonen til de rasjonelle tallene , også kjent som Dirichlet-funksjonen som er diskontinuerlig overalt .

Bevis  -

Vi presenterer to bevis.

  1. Dette kan sees ved å merke seg at for enhver endelig samling av rasjonelle er den karakteristiske funksjonen for dette settet Baire 1: nemlig funksjonen konvergerer identisk med den karakteristiske funksjonen til , hvor er den endelige samlingen av rasjonelle. Siden rasjonellene er tellbare, kan vi se på den punktvise grensen for disse tingene , hvor det er en oppregning av rasjonellene. Det er ikke Baire-1 av teoremet nevnt ovenfor: settet av diskontinuiteter er hele intervallet (absolutt settet med kontinuitetspunkter er ikke comeager).
  2. Dirichlet-funksjonen kan konstrueres som den dobbelte punktvise grensen for en sekvens av kontinuerlige funksjoner, som følger:
for heltall j og k .

Baire klasse 3

Et eksempel på slike funksjoner er gitt av indikatoren for settet med normale tall , som er et Borel-sett av rang 3 .

Se også

Referanser

  • Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
  • Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions avvikler, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
  • Kechris, Alexander S. (1995), Klassisk beskrivende settteori , Springer-Verlag .

Eksterne linker