Fonction Baire - Baire function

En mathématiques , les fonctions de Baire sont des fonctions obtenues à partir de fonctions continues par itération transfinie de l'opération de formation de limites ponctuelles de séquences de fonctions. Ils ont été introduits par René-Louis Baire en 1899. Un ensemble Baire est un ensemble dont la fonction caractéristique est une fonction Baire. (Il existe d'autres définitions, presque équivalentes, mais inéquivalentes des ensembles de Baire.)

Classification des fonctions Baire

Fonctions de Baire α de classe, pour chaque dénombrable nombre ordinal α, forment un espace vectoriel de réelles fonctions à valeurs définies dans un espace topologique , comme suit.

Les fonctions Baire de classe 0 sont les fonctions continues .
Les fonctions Baire de classe 1 sont les fonctions qui sont la limite ponctuelle d'une séquence de fonctions Baire de classe 0.
En général, les fonctions α de classe Baire sont toutes des fonctions qui sont la limite ponctuelle d'une suite de fonctions de classe Baire inférieure à α.

Certains auteurs définissent les classes légèrement différemment, en supprimant toutes les fonctions de classe inférieure à α des fonctions de classe α. Cela signifie que chaque fonction de Baire a une classe bien définie, mais les fonctions d'une classe donnée ne forment plus un espace vectoriel.

Henri Lebesgue a prouvé que (pour les fonctions sur l' intervalle unitaire ) chaque classe de Baire d'un nombre ordinal dénombrable contient des fonctions n'appartenant à aucune classe plus petite, et qu'il existe des fonctions qui ne sont dans aucune classe de Baire.

Baire classe 1

Exemples:

La dérivée de toute fonction différentiable est de classe 1. Un exemple de fonction différentiable dont la dérivée n'est pas continue (à x = 0) est la fonction égale à quand x ≠ 0, et 0 lorsque x = 0. Une somme infinie de similaire les fonctions (mises à l'échelle et déplacées par des nombres rationnels ) peuvent même donner une fonction différentiable dont la dérivée est discontinue sur un ensemble dense. Cependant, il a nécessairement des points de continuité, ce qui découle facilement du théorème de caractérisation de Baire (ci-dessous; prenez K = X = R ). ${\ Displaystyle x ^ {2} \ sin (1 / x)}$
La fonction caractéristique de l'ensemble des entiers , qui vaut 1 si x est un entier et 0 sinon. (Un nombre infini de grandes discontinuités.)
Fonction de Thomae , qui vaut 0 pour x irrationnel et 1 / q pour un nombre rationnel p / q (sous forme réduite). (Un ensemble dense de discontinuités, à savoir l'ensemble des nombres rationnels.)
La fonction caractéristique de l' ensemble de Cantor , qui vaut 1 si x est dans l'ensemble de Cantor et 0 dans le cas contraire. Cette fonction est 0 pour un ensemble indénombrable de valeurs x et 1 pour un ensemble indénombrable. Il est discontinu partout où il est égal à 1 et continu partout où il est égal à 0. Il est approximé par les fonctions continues , où est la distance de x du point le plus proche dans l'ensemble de Cantor. ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-nd (x, C)})}$ ${\ displaystyle d (x, C)}$

Le théorème de caractérisation de Baire stipule qu'une fonction réelle f définie sur un espace de Banach X est une fonction de Baire-1 si et seulement si pour tout sous- ensemble fermé non vide K de X , la restriction de f à K a un point de continuité relative à la topologie de K .

Par un autre théorème de Baire, pour chaque fonction Baire-1 , les points de continuité sont un comeager G _δ ensemble ( Kechris 1995 , le théorème (24,14)).

Baire classe 2

Un exemple de fonction de Baire de classe 2 sur l'intervalle [0,1] qui n'est pas de classe 1 est la fonction caractéristique des nombres rationnels , également connue sous le nom de fonction de Dirichlet qui est discontinue partout . ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathbb {Q}}}$

Preuve -

Nous présentons deux preuves.

Ceci peut être vu en notant que pour toute collection finie de rationnels, la fonction caractéristique de cet ensemble est Baire 1: à savoir la fonction converge identiquement vers la fonction caractéristique de , où est la collection finie de rationnels. Puisque les rationnels sont dénombrables, nous pouvons regarder la limite ponctuelle de ces choses , où se trouve une énumération des rationnels. Ce n'est pas Baire-1 par le théorème mentionné ci-dessus: l'ensemble des discontinuités est l'intervalle entier (certes, l'ensemble des points de continuité n'est pas comeager). ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-nd (x, K)})}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K_ {n} = \ {r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n} \}}$ ${\ displaystyle r_ {n}}$
La fonction Dirichlet peut être construite comme la double limite ponctuelle d'une séquence de fonctions continues, comme suit:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ chi _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (\ lim _ {j \ to \ infty} \ gauche (\ cos (k! \ pi x) \ droite) ^ {2j} \ droite)}

pour les entiers j et k .

Baire classe 3

Un exemple de telles fonctions est donné par l'indicateur de l'ensemble des nombres normaux , qui est un ensemble Borel de rang 3 .

Voir également

Les références

Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
Kechris, Alexander S. (1995), Théorie des ensembles descriptifs classiques , Springer-Verlag .

Liens externes

Article de Springer Encyclopaedia of Mathematics sur les classes de Baire

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