Função Baire - Baire function

Em matemática , as funções de Baire são funções obtidas a partir de funções contínuas por iteração transfinita da operação de formação de limites pontuais de sequências de funções. Eles foram introduzidos por René-Louis Baire em 1899. Um conjunto Baire é um conjunto cuja função característica é uma função Baire. (Existem outras definições de conjuntos de Baire, quase equivalentes, mas não equivalentes.)

Classificação das funções Baire

As funções de Baire de classe α, para qualquer número ordinal contável α, formam um espaço vetorial de funções de valor real definidas em um espaço topológico , como segue.

  • As funções Baire classe 0 são as funções contínuas .
  • As funções da classe 1 de Baire são aquelas funções que constituem o limite pontual de uma sequência de funções da classe 0 de Baire.
  • Em geral, as funções da classe Baire α são todas funções que são o limite pontual de uma seqüência de funções da classe Baire menor que α.

Alguns autores definem as classes de maneira um pouco diferente, removendo todas as funções da classe menor que α das funções da classe α. Isso significa que cada função Baire possui uma classe bem definida, mas as funções de determinada classe não formam mais um espaço vetorial.

Henri Lebesgue provou que (para funções no intervalo de unidade ) cada classe Baire de um número ordinal contável contém funções que não pertencem a nenhuma classe menor, e que existem funções que não estão em nenhuma classe Baire.

Baire classe 1

Exemplos:

  • A derivada de qualquer função diferenciável é da classe 1. Um exemplo de uma função diferenciável cuja derivada não é contínua (em x  = 0) é a função igual a quando x  ≠ 0, e 0 quando x  = 0. Uma soma infinita de similar funções (escaladas e deslocadas por números racionais ) podem até fornecer uma função diferenciável cuja derivada é descontínua em um conjunto denso. No entanto, ele necessariamente tem pontos de continuidade, o que segue facilmente o Teorema da Caracterização de Baire (abaixo; tome K  =  X  =  R ).
  • A função característica do conjunto de inteiros , que é igual a 1 se x for um inteiro e 0 caso contrário. (Um número infinito de grandes descontinuidades.)
  • Função de Thomae , que é 0 para irracional xe 1 / q para um número racional p / q (na forma reduzida). (Um conjunto denso de descontinuidades, ou seja, o conjunto de números racionais.)
  • A função característica do conjunto Cantor , que é igual a 1 se x estiver no conjunto Cantor e 0 caso contrário. Esta função é 0 para um conjunto incontável de valores x e 1 para um conjunto incontável. É descontínuo onde for igual a 1 e contínuo onde for igual a 0. É aproximado pelas funções contínuas , onde é a distância de x do ponto mais próximo no conjunto de Cantor.

O Teorema de Caracterização de Baire afirma que uma função de valor real f definida em um espaço de Banach X é uma função Baire-1 se e somente se para cada subconjunto fechado não vazio K de X , a restrição de f para K tem um ponto de continuidade relativo a topologia de K .

Por outro teorema de Baire, para cada função Baire-1, os pontos de continuidade são um comeager L δ conjunto ( Kechris 1995 , Teorema (24,14)).

Baire classe 2

Um exemplo de função de classe 2 de Baire no intervalo [0,1] que não é da classe 1 é a função característica dos números racionais , também conhecida como função de Dirichlet, que é descontínua em todos os lugares .

Prova  -

Apresentamos duas provas.

  1. Isso pode ser visto observando que para qualquer coleção finita de racionais, a função característica para este conjunto é Baire 1: a saber, a função converge de forma idêntica à função característica de , onde está a coleção finita de racionais. Uma vez que os racionais são contáveis, podemos olhar para o limite pontual dessas coisas , onde está uma enumeração dos racionais. Não é Baire-1 pelo teorema mencionado acima: o conjunto de descontinuidades é o intervalo inteiro (certamente, o conjunto de pontos de continuidade não é igual).
  2. A função de Dirichlet pode ser construída como o limite pontual duplo de uma sequência de funções contínuas, da seguinte maneira:
para inteiros j e k .

Baire classe 3

Um exemplo de tais funções é dado pelo indicador do conjunto de números normais , que é um conjunto Borel de classificação 3 .

Veja também

Referências

  • Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
  • Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
  • Kechris, Alexander S. (1995), Teoria dos conjuntos descritivos clássicos , Springer-Verlag .

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