Baire-funktion - Baire function

I matematik , Baire funktioner er funktioner opnået fra kontinuerte funktioner ved transfinite iteration af operationen danne punktvis grænserne for sekvenser af funktioner. De blev introduceret af René-Louis Baire i 1899. Et Baire-sæt er et sæt, hvis karakteristiske funktion er en Baire-funktion. (Der er andre, næsten ækvivalente, men ulige definitioner af Baire-sæt.)

Klassificering af Baire-funktioner

Baire-funktioner i klasse α, for ethvert tællende ordinalt tal α, danner et vektorrum med reelle værdiansatte funktioner defineret i et topologisk rum som følger.

  • Baire klasse 0-funktionerne er de kontinuerlige funktioner .
  • Baire klasse 1-funktionerne er de funktioner, der er den punktvise grænse for en sekvens af Baire klasse 0-funktioner.
  • Generelt er Baire-klasse α-funktionerne alle funktioner, der er den punktvise grænse for en række sekvenser af funktioner i Baire-klasse mindre end α.

Nogle forfattere definerer klasserne lidt anderledes ved at fjerne alle funktioner i klasse mindre end α fra funktionerne i klasse α. Dette betyder, at hver Baire-funktion har en veldefineret klasse, men funktionerne i en given klasse danner ikke længere et vektorrum.

Henri Lebesgue beviste, at (for funktioner i enhedsintervallet ) indeholder hver Baire-klasse af et tælleligt ordinalt antal funktioner, der ikke er i nogen mindre klasse, og at der findes funktioner, som ikke er i nogen Baire-klasse.

Baire klasse 1

Eksempler:

  • Den derivat af ethvert differentiable funktion er af klasse 1. Et eksempel på en differentiable funktion, hvis derivat er ikke kontinuerlig (ved x  = 0) er den funktion lig med når x  ≠ 0, og 0 når x  = 0. En uendelig sum af lignende funktioner (skaleret og forskudt af rationelle tal ) kan endda give en differentierbar funktion, hvis afledte er diskontinuerlig på et tæt sæt. Det har dog nødvendigvis kontinuitetspunkter, der let følger af The Baire Characterization Theorem (nedenfor; tag K  =  X  =  R ).
  • Den karakteristiske funktion af sættet af heltal , der er lig med 1, hvis x er et helt tal og 0 ellers. (Et uendeligt antal store diskontinuiteter.)
  • Thomaes funktion , som er 0 for irrationel x og 1 / q for et rationelt tal p / q (i reduceret form). (Et tæt sæt diskontinuiteter, nemlig sættet med rationelle tal.)
  • Den karakteristiske funktion af Cantorsættet , som er lig med 1, hvis x er i Cantorsættet og 0 ellers. Denne funktion er 0 for et utalligt sæt x- værdier og 1 for et utalligt sæt. Det er diskontinuerligt, uanset hvor det er lig med 1 og kontinuerligt, uanset hvor det er lig med 0. Det tilnærmes af de kontinuerlige funktioner , hvor er afstanden x fra det nærmeste punkt i Cantor-sættet.

Baire-karakteriseringssætningen siger, at en ægte værdsat funktion f defineret på et Banach-rum X er en Baire-1-funktion, hvis og kun hvis for hver ikke-tom lukket delmængde K af X , har begrænsningen af f til K et kontinuitetspunkt i forhold til til topologi af K .

Ved en anden sætning af Baire, for hver Baire-1-funktion er kontinuitetspunkterne et comeager G δ- sæt ( Kechris 1995 , Theorem (24.14)).

Baire klasse 2

Et eksempel på en Baire klasse 2-funktion i intervallet [0,1], der ikke er i klasse 1, er den karakteristiske funktion af de rationelle tal , også kendt som Dirichlet-funktionen, som er diskontinuerlig overalt .

Bevis  -

Vi præsenterer to beviser.

  1. Dette kan ses ved at bemærke, at for enhver begrænset samling af rationals er den karakteristiske funktion for dette sæt Baire 1: nemlig funktionen konvergerer identisk med den karakteristiske funktion af , hvor er den endelige samling af rationals. Da rationelerne er tællelige, kan vi se på den punktvise grænse for disse ting , hvor der er en optælling af rationalerne. Det er ikke Baire-1 ved sætningen nævnt ovenfor: Sættet af diskontinuiteter er hele intervallet (bestemt er sæt af kontinuitetspunkter ikke comeager).
  2. Dirichlet-funktionen kan konstrueres som den dobbelte punktvise grænse for en sekvens af kontinuerlige funktioner som følger:
for heltal j og k .

Baire klasse 3

Et eksempel på sådanne funktioner gives af indikatoren for sættet med normale tal , som er et Borel-sæt af rang 3 .

Se også

Referencer

  • Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
  • Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions ophører, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
  • Kechris, Alexander S. (1995), Klassisk beskrivende sætteori , Springer-Verlag .

eksterne links