Baire-toiminto - Baire function

On matematiikka , Baire toiminnot ovat funktioita on saatu jatkuvien funktioiden mukaan transfinite iterointia toiminnan muodostamaan pistemäinen rajojen sekvenssien toimintoja. René-Louis Baire esitteli ne vuonna 1899. Baire-sarja on joukko, jonka ominaisuus on Baire-funktio. (Baire-sarjoilla on muita, melkein vastaavia, mutta epätarkkoja määritelmiä.)

Baire-toimintojen luokitus

Baire toimintoja luokan α, mitään laskettavissa järjestysluku on α, muodostavat vektori tila on todellinen -arvoiset määritellyistä toiminnoista on topologinen avaruus , seuraavasti.

Baire-luokan 0 toiminnot ovat jatkuvia toimintoja .
Baire luokan 1 toiminnot ovat ne toiminnot, jotka ovat pisteittäin raja on sekvenssi on Baire luokan 0 toimintoja.
Yleensä Baire-luokan α-funktiot ovat kaikki funktioita, jotka ovat Baire-luokan funktioiden sekvenssin raja-arvoja pienempiä kuin α.

Jotkut kirjoittajat määrittelevät luokat hieman eri tavalla poistamalla kaikki luokan alle funktiot α luokan α funktioista. Tämä tarkoittaa, että jokaisella Baire-funktiolla on hyvin määritelty luokka, mutta tietyn luokan toiminnot eivät enää muodosta vektoriavaruutta.

Henri Lebesgue osoitti, että ( yksikköintervallin funktioita varten ) jokainen laskettavissa olevan järjestysluvun Baire-luokka sisältää toimintoja, jotka eivät kuulu mihinkään pienempään luokkaan, ja että on olemassa toimintoja, joita ei ole missään Baire-luokassa.

Baire-luokka 1

Esimerkkejä:

Johdannainen tahansa differentiable funktio on luokan 1. Esimerkki differentioituva funktio, jonka derivaatta ei ole jatkuva (at x = 0) on funktio yhtä kuin silloin, kun x ≠ 0, ja 0, kun x = 0. ääretön summa samankaltaisia funktiot (skaalattu ja syrjäytetty rationaalilukuilla ) voivat jopa antaa eriteltävän funktion, jonka johdannainen on epäjatkuva tiheässä joukossa. Siinä on kuitenkin välttämättä jatkuvuuskohtia, mikä seuraa helposti Bairen karakterisointilauseesta (alla; ota K = X = R ). ${\ displaystyle x ^ {2} \ sin (1 / x)}$
Karakteristinen funktio joukko kokonaislukuja , joka on yhtä suuri kuin 1, jos x on kokonaisluku ja 0 muutoin. (Ääretön määrä suuria epäjatkuvuuksia.)
Thomaen funktio , joka on 0 irrationaaliselle x: lle ja 1 / q järkevälle luvulle p / q (pelkistetyssä muodossa). (Tiheä epäjatkuvuussarja, nimittäin rationaalilukujen joukko.)
Karakteristinen funktio on Cantor joukko , joka on yhtä kuin 1, jos x on Cantor asetettu ja 0 muutoin. Tämä toiminto on 0 x- arvojen laskemattomalle joukolle ja 1 lukemattomalle joukolle. Se on epäjatkuva aina, kun se on 1, ja jatkuva, missä se on 0. Se arvioidaan jatkuvilla funktioilla , missä on x: n etäisyys lähimmästä pisteestä Cantor-joukossa. ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-nd (x, C)})}$ ${\ displaystyle d (x, C)}$

Baire karakterisointi Lause todetaan, että todellinen funktio f määritellään käyttäjää Banachin tila X on Baire-1: n toimintaa, jos ja vain jos kaikilla ei-tyhjä suljettu osajoukko K ja X , rajoitus on f ja K on piste jatkuvuuden suhteen että topologia on K .

Mukaan toinen lause, Baire, jokaista Baire-1: n toimintaa kohtia jatkuvuus ovat comeager G _δ joukko ( Kechris 1995 , Lause (24,14)).

Baire-luokka 2

Esimerkki Baire-luokan 2 toiminnosta välillä [0,1], joka ei kuulu luokkaan 1, on rationaalilukujen ominaisfunktio , joka tunnetaan myös nimellä Dirichlet-funktio, joka on epäjatkuva kaikkialla . ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathbb {Q}}}$

Todiste -

Esitämme kaksi todistetta.

Tämä voidaan todeta huomauttamalla, että mille tahansa rajalliselle järjen kokoelmalle, tämän ryhmän ominaisfunktio on Baire 1: funktio yhtyy identtisesti sen funktion ominaiskäyttöön , missä on rajallinen rationaalikokoelma. Koska perustelut ovat laskettavissa, voimme tarkastella näiden asioiden pistemäistä rajaa , missä on perustelujen luettelo. Se ei ole Baire-1 edellä mainitun lauseen mukaan: epäjatkuvuuksien joukko on koko väli (epäilemättä jatkuvuuspisteiden joukko ei ole houkutteleva). ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-nd (x, K)})}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K_ {n} = \ {r_ {1}, r_ {2}, \ pisteitä, r_ {n} \}}$ ${\ displaystyle r_ {n}}$
Dirichlet-toiminto voidaan rakentaa jatkuvien toimintojen sekvenssin kaksinkertaiseksi rajaksi seuraavasti:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ chi _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ vasen (\ lim _ {j \ to \ infty} \ vasen (\ cos (k! \ pi x) \ oikea) ^ {2j} \ oikea)}

kokonaisluvuille j ja k .

Baire-luokka 3

Eräs esimerkki sellaisista toiminnoista saadaan indikaattori joukko normaali numeroiden , joka on Borel joukko on listalla 3 .

Katso myös

Viitteet

Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions lopettaa, Ranskan professorit , Gauthier-Villars .
Kechris, Alexander S. (1995), Klassisen kuvaavan sarjan teoria , Springer-Verlag .

Ulkoiset linkit

Springerin matematiikan tietosanakirja Baire-luokista

Languages

In other projects