Dirichlet -funksjon - Dirichlet function

I matematikk , den Dirichlet-funksjonen er den indikator funksjon 1 _Q eller av settet av rasjonale tall Q , det vil si 1 _Q ( x ) = 1 hvis x er et rasjonalt tall og en _Q ( x ) = 0 hvis X ikke er et rasjonalt tall (dvs. et irrasjonelt tall ). ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = {\ start {cases} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ notin \ mathbb {Q} \ end {cases}} }$$

Det er oppkalt etter matematikeren Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Det er et eksempel på patologisk funksjon som gir moteksempler til mange situasjoner.

Topologiske egenskaper

• Dirichlet -funksjonen er ingen steder kontinuerlig .
  Bevis  -

  • Hvis y er rasjonell, så er f ( y ) = 1 . For å vise at funksjonen ikke er kontinuerlig ved y , må vi finne en ε slik at uansett hvor liten vi velger δ , vil det være punkter z innenfor δ av y slik at f ( z ) ikke er innenfor ε av f ( y ) = 1 . Faktisk er 1/2 et slikt ε . Fordi de irrasjonelle tallene er tette i realen, uansett hvilken δ vi velger, kan vi alltid finne en irrasjonell z innenfor δ av y , og f ( z ) = 0 er minst 1/2 unna 1.
  • Hvis y er irrasjonelt, er f ( y ) = 0 . Igjen kan vi ta ε = 1/2 , og denne gangen, fordi de rasjonelle tallene er tette i realen, kan vi velge z for å være et rasjonelt tall så nær y som er nødvendig. Igjen, f ( z ) = 1 er mer enn 1/2 unna f ( y ) = 0 .
  Begrensningene for settet med rasjonelle tall og settet med irrasjonelle tall er konstanter og derfor kontinuerlige. Dirichlet -funksjonen er et arketypisk eksempel på Blumberg -setningen .
• Dirichlet -funksjonen kan konstrueres som den doble punktvise grensen for en sekvens av kontinuerlige funksjoner, som følger:
  $${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (\ lim _ { j \ to \ infty} \ left (\ cos (k! \ pi x) \ right)^{2j} \ right)}$$

  
  for heltall j og k . Dette viser at Dirichlet -funksjonen er en Baire klasse 2 -funksjon. Det kan ikke være en Baire klasse 1 -funksjon fordi en Baire klasse 1 -funksjon bare kan være diskontinuerlig på et magert sett .

Periodisitet

For et reelt tall x og et positivt rasjonelt tall T , 1 _Q ( x + T ) = 1 _Q ( x ). Dirichlet-funksjon er derfor et eksempel på en ekte periodisk funksjon som ikke er konstant , men som har sett av perioder, settet av rasjonale tall, er en tett delmengde av R .

Integrasjonsegenskaper

• Dirichlet-funksjonen er ikke Riemann-integrerbar på noen segmenter av R, mens den er begrenset fordi settet med diskontinuitetspoeng ikke er ubetydelig (for Lebesgue-målet ).
• Dirichlet -funksjonen gir et moteksempel som viser at monoton konvergenssetning ikke er sant i sammenheng med Riemann -integralet.
  Bevis  -

  Ved å bruke en oppregning av de rasjonelle tallene mellom 0 og 1, definerer vi funksjonen f _n (for alle ikke -negative heltall n ) som indikatorfunksjon for settet til de første n -termene i denne sekvensen av rasjonelle tall. Den økende sekvensen av funksjoner f _n (som er ikke-negative, Riemann-integrerbare med en forsvinnende integral) konvergerer punktvis til Dirichlet-funksjonen som ikke er Riemann-integrerbar.

• Dirichlet-funksjonen er Lebesgue-integrerbar på R og integralen over R er null fordi den er null bortsett fra settet med rasjonelle tall som er ubetydelig (for Lebesgue-målet).

Referanser