Incircle ed excircles di un triangolo - Incircle and excircles of a triangle

UN    triangolo con    incircle, incenter ( ), ${\ displaystyle I}$   excircles, eccentrici ( , , ), ${\ displaystyle J_ {A}}$${\ displaystyle J_ {B}}$${\ displaystyle J_ {C}}$   bisettrici ad angolo interno e    bisettrici ad angolo esterno. Il    il triangolo verde è il triangolo eccentrico.

In geometria , il cerchio incircolare o inscritto di un triangolo è il cerchio più grande contenuto nel triangolo; tocca (è tangente a) i tre lati. Il centro del cerchio è un centro del triangolo chiamato incentro del triangolo .

Un excircle o cerchio escribed del triangolo è un cerchio che giace al di fuori del triangolo, tangente ad uno dei suoi lati e tangente alle estensioni degli altri due . Ogni triangolo ha tre cerchi distinti, ognuno tangente a uno dei lati del triangolo.

Il centro dell'incircolo, chiamato incentro , può essere trovato come l'intersezione delle tre bisettrici dell'angolo interno . Il centro di un excircle è l'intersezione della bisettrice interna di un angolo (al vertice , per esempio) e le bisettrici esterne degli altri due. Il centro di questo excircle è chiamato eccentrico rispetto al vertice , o l' eccentrico di . Poiché la bisettrice interna di un angolo è perpendicolare alla sua bisettrice esterna, ne consegue che il centro della circonferenza insieme ai tre centri della circonferenza formano un sistema ortocentrico . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Tutti i poligoni regolari hanno cerchi tangenti a tutti i lati, ma non tutti i poligoni lo hanno; quelli che lo fanno sono poligoni tangenziali . Vedi anche Linee tangenti ai cerchi .

Incircle e incenter

Supponiamo che abbia un cerchio con raggio e centro . Sia la lunghezza di , la lunghezza di e la lunghezza di . Anche lasciare , e essere i punti di contatto, dove i tocchi incircle , e . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$

In centro

L'incenter è il punto in cui le interne bisettrici di raduno. ${\ displaystyle \ angle ABC, \ angle BCA, {\ text {e}} \ angle BAC}$

La distanza dal vertice all'incentro è: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle d (A, I) = c {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}} = b {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} }.}$

Coordinate trilineari

Le coordinate trilineari per un punto nel triangolo sono il rapporto di tutte le distanze ai lati del triangolo. Poiché l'incentro è alla stessa distanza da tutti i lati del triangolo, le coordinate trilineari per l'incentro lo sono

${\ displaystyle \ 1: 1: 1.}$

Coordinate baricentriche

Le coordinate baricentriche per un punto in un triangolo danno pesi tali che il punto sia la media ponderata delle posizioni dei vertici del triangolo. Le coordinate baricentriche per l'incentro sono date da

${\ displaystyle \ a: b: c}$

dove , e sono le lunghezze dei lati del triangolo, o equivalentemente (usando la legge dei seni ) di ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

dove , e sono gli angoli ai tre vertici. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane dell'incentro sono una media ponderata delle coordinate dei tre vertici utilizzando le lunghezze laterali del triangolo rispetto al perimetro (cioè utilizzando le coordinate baricentriche fornite sopra, normalizzate per sommare all'unità) come pesi. I pesi sono positivi quindi l'incentro si trova all'interno del triangolo come indicato sopra. Se i tre vertici si trovano a , e , ed i lati opposti questi vertici sono corrispondenti lunghezze , e , quindi l'incenter è ${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}$${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}$${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ right) = {\ frac {a \ left (x_ {a}, y_ {a} \ right) + b \ left (x_ {b}, y_ {b} \ destra) + c \ sinistra (x_ {c}, y_ {c} \ destra)} {a + b + c}}.}$

Raggio

La raggio_inscritto della incircle in un triangolo con lati di lunghezza , , è dato da ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}},}$ dove ${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2.}$

Vedi la formula di Heron .

Distanze ai vertici

Indicando l'incentro di as , le distanze dall'incentro ai vertici combinate con le lunghezze dei lati del triangolo obbediscono all'equazione ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Inoltre,

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

dove e sono rispettivamente circumradius e inradius del triangolo . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$

Altre proprietà

Alla raccolta dei centri dei triangoli può essere data la struttura di un gruppo sotto la moltiplicazione per coordinate di coordinate trilineari; in questo gruppo, l'incentro costituisce l' elemento identitario .

Incircle e sue proprietà del raggio

Distanze tra vertice e touchpoint più vicini

Le distanze da un vertice ai due punti di contatto più vicini sono uguali; per esempio:

${\ Displaystyle d \ left (A, T_ {B} \ right) = d \ left (A, T_ {C} \ right) = {\ frac {1} {2}} (b + ca).}$

Altre proprietà

Supponiamo che i punti di tangenza del cerchio dividano i lati in lunghezze di e , e , e e . Quindi il cerchio ha il raggio ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {xyz} {x + y + z}}}}$

e l'area del triangolo è

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}$

Se le altitudini dai lati delle lunghezze , e sono , e , allora l'inradius è un terzo della media armonica di queste altitudini; questo è, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle h_ {b}}$${\ displaystyle h_ {c}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c }}}}}.}$

Il prodotto del raggio incircle e circoscritto il raggio di un triangolo con i lati , ed è ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle rR = {\ frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Alcune relazioni tra i lati, il raggio del cerchio e il raggio del cerchio sono:

${\ displaystyle {\ begin {align} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ End {allineato}}}$

Qualsiasi linea attraverso un triangolo che divide a metà sia l'area del triangolo che il suo perimetro passa attraverso l'incentro del triangolo (il centro del suo cerchio). Ce ne sono uno, due o tre per ogni triangolo dato.

Denotando il centro del cerchio di as , abbiamo ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}$

e

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}$

Il raggio di incirconferenza non è maggiore di un nono della somma delle altitudini.

La distanza al quadrato dall'incentro al circumcentro è data da ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r)}$ ,

e la distanza dall'incentro al centro del cerchio di nove punti è ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}$

L'incentro si trova nel triangolo mediale (i cui vertici sono i punti medi dei lati).

Relazione con l'area del triangolo

Il raggio del cerchio è relativo all'area del triangolo. Il rapporto tra l'area del cerchio e l'area del triangolo è minore o uguale a , con uguaglianza valida solo per i triangoli equilateri . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Supponiamo che abbia un cerchio con raggio e centro . Sia la lunghezza di , la lunghezza di e la lunghezza di . Ora, il cerchio è tangente a un certo punto , e così è giusto. Pertanto, il raggio è un'altitudine di . Pertanto, ha la lunghezza e l'altezza della base , così come l'area . Allo stesso modo, ha un'area e ha un'area . Poiché questi tre triangoli si decompongono , vediamo che l'area è: ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ Displaystyle \ angle AT_ {C} I}$${\ displaystyle T_ {C} I}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}$${\ displaystyle \ triangle IAC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br}$${\ displaystyle \ triangle IBC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle \ Delta {\ text {di}} \ triangle ABC}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}$     e     ${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}$

dov'è l'area di ed è il suo semiperimetro . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

Per una formula alternativa, considera . Questo è un triangolo rettangolo con un lato uguale a e l'altro lato uguale a . Lo stesso vale per . Il triangolo grande è composto da sei di questi triangoli e l'area totale è: ${\ displaystyle \ triangolo IT_ {C} A}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r \ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right)}$${\ displaystyle \ triangle IB'A}$

${\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ left (\ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {B} {2}} \ right ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right).}$

Triangolo e punto di Gergonne

Un triangolo , con ${\ displaystyle \ triangle ABC}$   incircolare,    incenter ( ), ${\ displaystyle I}$   triangolo di contatto ( ) e ${\ displaystyle \ triangolo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$   Punto Gergonne ( ) ${\ displaystyle G_ {e}}$

Il triangolo di Gergonne (di ) è definito dai tre punti di contatto del cerchio sui tre lati. Il punto di contatto opposto è indicato , ecc. ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T_ {A}}$

Questo triangolo di Gergonne ,, è anche noto come triangolo di contatto o triangolo di . La sua area è ${\ displaystyle \ triangolo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

dove , e sono la zona, raggio del incircle , e semiperimeter del triangolo originale, e , e sono le lunghezze dei lati del triangolo originale. Questa è la stessa area di quella del triangolo extouch . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Le tre linee , e si intersecano in un unico punto chiamato punto Gergonne , indicato come (o centro triangolo X ₇ ). Il punto di Gergonne si trova nel disco ortocentroidale aperto perforato al suo centro e può essere qualsiasi punto al suo interno. ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$${\ displaystyle G_ {e}}$

Il punto Gergonne di un triangolo ha una serie di proprietà, incluso il fatto che è il punto symmedian del triangolo Gergonne.

Le coordinate trilineari per i vertici del triangolo intouch sono date da

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {B} {2}} \ destra): \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {A} {2}} \ destra): 0: \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Le coordinate trilineari per il punto Gergonne sono date da

${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {A} {2}} \ destra): \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {B} {2}} \ destra): \ sec ^ {2} \ sinistra ({\ frac {C} {2}} \ destra),}$

o, equivalentemente, dalla Legge di Sines ,

${\ displaystyle {\ frac {bc} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + bc}}.}$

Excircles ed excenters

UN    triangolo con    incircle, incenter ), ${\ displaystyle I}$   excircles, eccentrici ( , , ), ${\ displaystyle J_ {A}}$${\ displaystyle J_ {B}}$${\ displaystyle J_ {C}}$   bisettrici ad angolo interno e    bisettrici ad angolo esterno. Il    il triangolo verde è il triangolo eccentrico.

Un excircle o cerchio escribed del triangolo è un cerchio che giace al di fuori del triangolo, tangente ad uno dei suoi lati e tangente alle estensioni degli altri due . Ogni triangolo ha tre cerchi distinti, ognuno tangente a uno dei lati del triangolo.

Il centro di un excircle è l'intersezione della bisettrice interna di un angolo (al vertice , per esempio) e le bisettrici esterne degli altri due. Il centro di questo excircle è chiamato eccentrico rispetto al vertice , o l' eccentrico di . Poiché la bisettrice interna di un angolo è perpendicolare alla sua bisettrice esterna, ne consegue che il centro dell'incircolo insieme ai tre centri dell'escircolo formano un sistema ortocentrico . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Coordinate trilineari degli eccentrici

Mentre l'incenter di ha coordinate trilineari , gli eccentrici hanno trilinears , e . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$ ${\ displaystyle 1: 1: 1}$${\ displaystyle -1: 1: 1}$${\ displaystyle 1: -1: 1}$${\ displaystyle 1: 1: -1}$

Exradii

I raggi degli excircles sono chiamati exradii .

L'exradius del excircle opposto (così toccante , centrato su ) è ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle J_ {A}}$

${\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ frac {s (sb) (sc)} {sa}}},}$ dove ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}$

Vedi la formula di Heron .

Derivazione della formula di exradii

Altre proprietà

Dalle formule di cui sopra si può vedere che gli excircle sono sempre più grandi dell'incircle e che l'excircle più grande è quello tangente al lato più lungo e il excircle più piccolo è tangente al lato più corto. Inoltre, combinando queste formule si ottengono:

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

Altre proprietà excircle

Lo scafo circolare degli excircles è internamente tangente a ciascuno degli excircles ed è quindi un cerchio di Apollonio . Il raggio di questo cerchio di Apollonio è dove è il raggio del cerchio ed è il semiperimetro del triangolo. ${\ displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

Valgono le seguenti relazioni tra i raggio_inscritto , il circumradius , il semiperimeter , ed i raggi excircle , , : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r_ {a}}$${\ displaystyle r_ {b}}$${\ displaystyle r_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ right) ^ {2} -2s ^ {2}. \ end {align}}}$

Il cerchio attraverso i centri dei tre cerchi ha raggio . ${\ displaystyle 2R}$

Se è l' ortocentro di , allora ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ End {allineato }}}$

Triangolo di Nagel e punto di Nagel

Il    extouch triangolo ( ) e il ${\ displaystyle \ triangolo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$   Punto Nagel ( ) di a ${\ displaystyle N}$   triangolo ( ). I cerchi arancioni sono i cerchi del triangolo. ${\ displaystyle \ triangle ABC}$

Il triangolo Nagel o triangolo extouch di è indicato dai vertici , e che sono i tre punti in cui le circonferenze toccano il riferimento e dove è opposto a , ecc. Questo è anche noto come triangolo extouch di . Il circumcircle dell'extouch è chiamato il cerchio di Mandart . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ triangolo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle \ triangolo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$

Le tre linee , e sono chiamati i divisori del triangolo; ciascuna taglia in due il perimetro del triangolo, ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$

${\ displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (AB + BC + AC \ right).}$

Gli splitter si intersecano in un unico punto, il punto Nagel del triangolo (o centro del triangolo X ₈ ). ${\ displaystyle N_ {a}}$

Le coordinate trilineari per i vertici del triangolo extouch sono date da

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Le coordinate trilineari per il punto Nagel sono date da

${\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

o, equivalentemente, dalla Legge di Sines ,

${\ displaystyle {\ frac {b + ca} {a}}: {\ frac {c + ab} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}.}$

Il punto Nagel è il coniugato isotomico del punto Gergonne.

Costruzioni correlate

Cerchio di nove punti e punto Feuerbach

Il cerchio di nove punti è tangente all'incircolo e all'excircles

In geometria , il cerchio a nove punti è un cerchio che può essere costruito per un dato triangolo . È così chiamato perché attraversa nove punti conciclici significativi definiti dal triangolo. Questi nove punti sono:

• Il punto medio di ciascun lato del triangolo
• I piedi di ogni altitudine
• Il punto medio del segmento di linea da ciascun vertice del triangolo all'ortocentro (dove le tre altitudini si incontrano; questi segmenti di linea giacciono sulle rispettive altitudini).

Nel 1822 Karl Feuerbach scoprì che il cerchio di nove punti di qualsiasi triangolo è esternamente tangente alle tre circonferenze di quel triangolo e internamente tangente al suo incircolo ; questo risultato è noto come teorema di Feuerbach . Ha dimostrato che:

... il cerchio che passa per i piedi delle quote di un triangolo è tangente a tutti e quattro i cerchi che a loro volta sono tangenti ai tre lati del triangolo ... ( Feuerbach 1822 ) errore harv: nessun obiettivo: CITEREFFeuerbach1822 ( aiuto )

Il centro del triangolo in cui si toccano il cerchio incircolare e quello a nove punti è chiamato punto Feuerbach .

Triangoli incentrale ed eccentrico

I punti di intersezione delle bisettrici interne dei i segmenti , , e sono i vertici del triangolo incentral . Le coordinate trilineari per i vertici del triangolo incentrale sono date da ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$

• ${\ displaystyle \ \ sinistra ({\ text {vertice opposto}} \, A \ destra) = 0: 1: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ sinistra ({\ text {vertice opposto}} \, B \ destra) = 1: 0: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vertice opposto}} \, C \ right) = 1: 1: 0.}$

Il triangolo eccentrico di un triangolo di riferimento ha vertici al centro delle circonferenze del triangolo di riferimento. I suoi lati si trovano sulle bisettrici angolari esterne del triangolo di riferimento (vedere la figura in alto nella pagina ). Le coordinate trilineari per i vertici del triangolo eccentrico sono date da

• ${\ displaystyle ({\ text {vertice opposto}} \, A) = - 1: 1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vertice opposto}} \, B) = 1: -1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vertice opposto}} \, C) = 1: 1: -1.}$

Equazioni per quattro cerchi

Lasciate essere un punto variabile in coordinate trilineari , e lasciare , , . I quattro cerchi sopra descritti sono dati in modo equivalente da una delle due equazioni date: ${\ displaystyle x: y: z}$${\ Displaystyle u = \ cos ^ {2} \ sinistra (A / 2 \ destra)}$${\ Displaystyle v = \ cos ^ {2} \ sinistra (B / 2 \ destra)}$${\ Displaystyle w = \ cos ^ {2} \ sinistra (C / 2 \ destra)}$

• Incircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle A}$ - excircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle B}$ - excircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle C}$ - excircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {allineato}}}$

Teorema di Eulero

Il teorema di Eulero afferma che in un triangolo:

${\ displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}$

dove e sono rispettivamente circumradius e inradius ed è la distanza tra circumcenter e incenter. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

Per excircles l'equazione è simile:

${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ right) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }$

dov'è il raggio di uno degli excircles, ed è la distanza tra il circumcenter e il centro di quel excircle. ${\ displaystyle r _ {\ text {ex}}}$${\ displaystyle d _ {\ text {ex}}}$

Generalizzazione ad altri poligoni

Alcuni (ma non tutti) i quadrilateri hanno un cerchio. Questi sono chiamati quadrilateri tangenziali . Tra le loro molte proprietà forse la più importante è che le loro due coppie di lati opposti hanno somme uguali. Questo è chiamato teorema di Pitot .

Più in generale, un poligono con un numero qualsiasi di lati che ha un cerchio inscritto (cioè tangente a ciascun lato) è chiamato poligono tangenziale .

Guarda anche

• Circongon
• Cerchio circoscritto
• Quadrilatero ex tangenziale
• Teorema di Harcourt  - Area di un triangolo dai suoi lati e distanze dei vertici rispetto a qualsiasi linea tangente al suo cerchio
• Circonconico e inconico  - Una sezione conica che passa attraverso i vertici di un triangolo o è tangente ai suoi lati
• Sfera inscritta
• Potenza di un punto
• Steiner inellipse
• Quadrilatero tangenziale
• Teorema del trillio  - Una dichiarazione sulle proprietà dei cerchi inscritti e circoscritti

Appunti

Riferimenti

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2a ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry , New York: Holt, Rinehart e Winston , LCCN   69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Centri Triangolo e Triangoli Centrali". Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
• Bacio, Sándor (2006). "I triangoli Orthic-of-Intouch e Intouch-of-Orthic". Forum Geometricorum (6): 171–177.

link esterno

• Derivazione della formula per il raggio di un cerchio di un triangolo
• Weisstein, Eric W. "Incircle" . MathWorld .

Interattivo

• Triangolo incentro     Triangolo incircle   Incircolo di un poligono regolare    Con animazioni interattive
• Costruire un triangolo incentro / cerchio con compasso e riga Una dimostrazione animata interattiva
• Teorema di cerchi uguali al nodo
• Teorema delle cinque incerchie al punto cruciale
• Coppie di Incircles in un quadrilatero a cut-the-knot
• Un applet Java interattivo per l'incenter