Urn probléma - Urn problem

A valószínűség és a statisztikák szerint az urnaprobléma egy idealizált mentális gyakorlat , amelyben néhány valóban érdekes tárgyat (például atomokat, embereket, autókat stb.) Színes golyókként ábrázolnak egy urnában vagy más tartályban. Az ember úgy tesz, mintha eltávolít egy vagy több golyót az urnából; a cél az egyik vagy másik szín vagy más tulajdonság rajzolásának valószínűsége. Az alábbiakban számos fontos variációt ismertetünk.

Az urnamodell az urnaproblémán belüli eseményeket leíró valószínűségek halmaza , vagy az urnaproblémákhoz kapcsolódó véletlen változók valószínűségi eloszlása vagy ilyen eloszlások családja .

Urna alapmodell

Ebben az alapvető urnamodellben a valószínűség-elméletben az urnában x fehér és y fekete golyó található, jól összekeverve. Az urnából véletlenszerűen húznak ki egy golyót, és megfigyelik annak színét; majd visszahelyezzük az urnába (vagy nem), és a kiválasztási folyamat megismétlődik.

A lehetséges válaszok ebben a modellben a következők:

• Tudok -e következtetni a fehér és fekete golyók arányára n megfigyelésből? Milyen magabiztossággal?
• Az x és y ismeretében mekkora a valószínűsége annak, hogy megrajzol egy adott sorozatot (pl. Egy fehér, majd egy fekete)?
• Ha csak n golyót figyelek, mennyire lehetek biztos abban, hogy nincsenek fekete golyók? (Variáció az első kérdésre)

Példák urna problémákra

• béta-binomiális eloszlás : a fentiek szerint, azzal a különbséggel, hogy minden alkalommal, amikor golyót észlelnek, egy azonos színű további golyót adnak az urnához. Így az urnában lévő összes golyó száma növekszik. Lásd Pólya urnamodelljét .
• binomiális eloszlás : a sikeres sorsolások (próbák) számának megoszlása, azaz fehér golyók kivonása, adott n húzás és cseréje urnában fekete -fehér golyókkal.
• Hoppe urnája : egy pólyai urnát mutatónak nevezett kiegészítő golyóval . Amikor a mutatót meghúzzuk, azt egy teljesen új színű golyóval együtt cseréljük ki.
• hipergeometriai eloszlás : a golyókat a kivonás után nem viszik vissza az urnába. Ezért az urnában lévő összes golyó száma csökken. Ezt úgy hívják, hogy „rajzolás csere nélkül”, szemben a „helyettesítéssel történő rajzolással”.
• többváltozós hipergeometriai eloszlás : a fentiek szerint, de több mint két színű golyókkal.
• geometriai eloszlás : az első sikeres (helyesen színezett) sorsolás előtti sorsolások száma.
• többnemű eloszlás : az urnában több mint két színű golyó található.
• negatív binomiális eloszlás : a sorsolások száma bizonyos számú hiba (helytelen színű sorsolás) előtt.
• Foglalkozási probléma : az elfoglalt urnák számának k golyók véletlenszerű kiosztása utáni elosztása n urnákba, a kupongyűjtő problémájával és születésnapi problémájával kapcsolatban .
• Pólya urna : minden alkalommal, amikor egy adott színű golyót húznak, azt egy másik, azonos színű golyóval együtt cserélik ki.
• Statisztikai fizika : energia- és sebességeloszlás levezetése.
• Az Ellsberg -paradoxon .

Történelmi megjegyzések

Az Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli tekinthető meghatározásának problémáját, mivel számos kavics levonni egy urna, az arányok különböző színű kavicsokat az urnát. Ezt a problémát fordított valószínűségi problémaként ismerték , és a XVIII. Század kutatási témája volt, amely felkeltette Abraham de Moivre és Thomas Bayes figyelmét .

Bernoulli a latin urna szót használta , amely elsősorban agyag edényt jelent, de az ókori Rómában is használt kifejezés mindenféle edényre szavazólapok vagy tételek gyűjtésére ; a mai olasz szavazóurnás szó még mindig urna . Bernoulli inspiráció lehetett lottó , választások , illetve a szerencsejátékok , amelyek részt vesznek rajz golyó egy tartályból, és azt állította, hogy a választások a középkori és reneszánsz Velence , beleértve a dózse , gyakran szerepel a választott elektorok által tétel felhasználásával urnából rajzolt különböző színű golyókat.

Lásd még

• Golyók kukákba
• Érmefeldobási problémák
• A kupongyűjtő problémája
• Dirichlet-multinomiális eloszlás
• Nemcentrális hipergeometriai eloszlások

Hivatkozások

További irodalom

• Johnson, Norman L .; és Kotz, Sámuel (1977); Urn modellek és alkalmazásuk: megközelítés a modern diszkrét valószínűségi elmélethez , Wiley ISBN  0-471-44630-0
• Mahmoud, Hosam M. (2008); Pólya Urn Models , Chapman & Hall/CRC. ISBN  1-4200-5983-1