Méthode de prise de vue - Shooting method

${\style d'affichage a}$

Les racines et les solutions du problème des valeurs limites sont équivalentes. Si est une racine de , alors est une solution du problème des valeurs limites. Inversement, si le problème aux valeurs limites a une solution , c'est aussi l'unique solution du problème aux valeurs initiales où , donc est une racine de . ${\style d'affichage F}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage y(t;a)}$${\style d'affichage y(t)}$${\style d'affichage y(t;a)}$${\displaystyle a=y'(t_{0})}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage F}$

Étymologie et intuition

Le terme « méthode de tir » trouve son origine dans l'artillerie. Une analogie pour la méthode de prise de vue est de

• placez un canon à la position , puis${\style d'affichage y(t_{0})=y_{0}}$
• varier la direction du canon, puis${\displaystyle y'(t_{0})=a}$
• tirez le canon jusqu'à ce qu'il atteigne la valeur limite .${\displaystyle y(t_{1})=y_{1}}$

Entre chaque tir, la direction du canon est ajustée en fonction du tir précédent, de sorte que chaque tir frappe plus près que le précédent. La trajectoire qui "atteint" la valeur limite souhaitée est la solution au problème de la valeur limite - d'où le nom de "méthode de prise de vue".

Méthode de prise de vue linéaire

Le problème de la valeur aux limites est linéaire si f a la forme

${\style d'affichage f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).\,}$

Dans ce cas, la solution au problème des valeurs aux limites est généralement donnée par :

${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{ 1})}}y_{(2)}(t)}$

où est la solution du problème de la valeur initiale : ${\style d'affichage y_{(1)}(t)}$

${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\ quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$

et est la solution du problème de la valeur initiale : ${\style d'affichage y_{(2)}(t)}$

${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2 )}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$

Voir la preuve pour la condition précise sous laquelle ce résultat est vérifié.

Exemples

Problème de valeur limite standard

Figure 1. Trajectoires w ( t ; s ) pour s = w '(0) égal à -7, -8, -10, -36 et -40. Le point (1,1) est marqué d'un cercle.

Figure 2. La fonction F ( s ) = w (1; s ) − 1.

Un problème de valeur aux limites est donné comme suit par Stoer et Bulirsch (section 7.3.1).

${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$

Le problème de la valeur initiale

${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$

a été résolu pour s = −1, −2, −3, ..., −100, et F ( s ) = w (1; s ) − 1 tracé dans la figure 2. En inspectant le tracé de F , nous voyons que il y a des racines proches de -8 et -36. Certaines trajectoires de w ( t ; s ) sont illustrées dans la figure 1.

Stoer et Bulirsch déclarent qu'il existe deux solutions, qui peuvent être trouvées par des méthodes algébriques.

Celles-ci correspondent aux conditions initiales w (0) = −8 et w ′(0) = −35,9 (environ).

Problème de valeur propre

Lors de la recherche de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique avec énergie , la méthode de tir produit des fonctions d'onde qui divergent à l'infini. Ici, la fonction d'onde correcte doit avoir des racines nulles et aller à zéro à l'infini, elle se situe donc quelque part entre les lignes orange et verte. L'énergie est donc comprise entre et (avec une précision numérique).${\style d'affichage E_{0}=1/2}$${\style d'affichage 0.495}$${\style d'affichage 0.500}$

La méthode de tir peut également être utilisée pour résoudre des problèmes de valeurs propres. Considérons l' équation de Schrodinger indépendante du temps pour l' oscillateur harmonique quantique

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x) =E_{n}\psi _{n}(x).}$$

${\style d'affichage \psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$

${\style d'affichage E_{n}=n+1/2}$

${\style d'affichage n=0,1,2,\points }$

• Si est une fonction propre, il en est de même pour toute constante non nulle .${\style d'affichage \psi _{n}(x)}$${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$${\style d'affichage C}$
• Le -ième état excité a des racines où .${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \psi _{n}(x)}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \psi _{n}(x)=0}$
• Pour pair , le -ième état excité est symétrique et non nul à l'origine.${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$
• Pour impair , le -ième état excité est antisymétrique et donc nul à l'origine.${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$

Pour trouver le -ième état excité et son énergie , la méthode de tir consiste alors à : ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \psi _{n}(x)}$${\style d'affichage E_{n}}$

1. Devinez un peu d'énergie .${\style d'affichage E_{n}}$
2. Intégrer l'équation de Schrödinger. Par exemple, utilisez la

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^ {i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i} =E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$

• Si est pair, définissez un nombre arbitraire (par exemple , la fonction d'onde peut être normalisée après l'intégration de toute façon) et utilisez la propriété symétrique pour trouver tous les fichiers .${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \psi _{0}}$${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
• Si est impair, définissez -le sur un nombre arbitraire (disons - la fonction d'onde peut être normalisée après l'intégration de toute façon) et trouvez tous les fichiers .${\style d'affichage n}$${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$

Comptez les racines de et affinez la supposition pour l'énergie . ${\displaystyle \psi _{n}}$${\style d'affichage E_{n}}$

• S'il y a ou moins de racines, l'énergie estimée est trop faible, alors augmentez-la et répétez le processus.${\style d'affichage n}$
• S'il y a plus que des racines, l'énergie estimée est trop élevée, alors diminuez-la et répétez le processus.${\style d'affichage n}$

L'estimation de l'énergie peut être effectuée avec la méthode de la

Voir également

• Méthode de prise de vue multiple directe
• Calcul de l'atténuation des ondes radio dans l'atmosphère

Remarques

Les références

• Appuyez sur, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT ; Flannery, BP (2007). "Section 18.1. La méthode de tir" . Recettes numériques : L'art de l'informatique scientifique (3e éd.). New York : Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Liens externes

• Brève description d'ODEPACK (sur Netlib ; contient LSODE)
• Méthode de prise de vue pour résoudre les problèmes de valeurs limites - Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica au Holistic Numerical Methods Institute [1]